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Matriz inversa

De Wikillerato


Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  de orden   
n,
  es la matriz cuadrada   
\mathbf{A}^{-1}
  tambien de orden   
n
  que verifica:



\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   
\mathbf{I}
  es la matriz identidad de orden   
n
.


Exitencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   
\mathbf{A}^{-1} 
  es única.


2.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A}^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{A}


3.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos



\mathbf{A}^{-1} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)


como



I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.


Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   
t = 0
.


Mediante la matriz adjunta




Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

   
 
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