Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Matriz inversa

De Wikillerato

Tabla de contenidos


[editar] Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  de orden   
n,
  es la matriz cuadrada   
\mathbf{A}^{-1}
  tambien de orden   
n
  que verifica:



\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   
\mathbf{I}
  es la matriz identidad de orden   
n
.


[editar] Existencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


[editar] Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   
\mathbf{A}^{-1} 
  es única.


2.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A}^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{A}


3.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


4. El determinante de una matriz regular 
\mathbf{A}
es el inverso del determinante de su matriz inversa:



\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}


[editar] Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


[editar] Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


[editar] Ejemplo



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos



\mathbf{A}^{-1} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)


como



I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.


[editar] Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


[editar] Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   
t = 0
.


[editar] Mediante la matriz adjunta


La matriz inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular mediante la expresión:



\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t


donde   
</p>
<pre>\makebox{Adj}
\left(
  \, \mathbf{A} \, 
\right)
</pre>
<p>   es la matriz adjunta de   
\mathbf{A}
.


[editar] Definición de matriz adjunta


La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  se llama matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  y se denota por   
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
.   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de 
\mathbf{A}
es   
A_{ij}
,   el adjunto del elemento de 
\mathbf{A}
en su fila i-esima y columna j-esima 
\left( \, a_{ij} \, \right)}
.


[editar] Ejemplo


Los menores complementarios de los elementos de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


Los adjuntos de los elementos de   
\mathbf{A}
  son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
\\
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


La matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  es



\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~42 & -3
\\
~24 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)


El determinante de 
\mathbf{A}
lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:



\left| \mathbf{A} \right|  = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12}  \cdot A_{12} + a_{13}
\cdot A_{13} = 1 \cdot  \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42  + 3 \cdot \left( \,
</p>
<pre> -3 \, \right) = 25
</pre>
<p>


Por lo tanto, la matriz inversa de 
\mathbf{A}
es


\mathbf{A}^{-1} =  \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
</p>
<pre>\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t =
\frac{1}{25} \cdot
\left(
 \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~24 & -3
\\
~42 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)

[editar] Ejercicios resueltos

También te pueden interesar los siguientes ejercicios resueltos de selectividad

Cargando feed...
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.