Matriz inversa
De Wikillerato
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+ | __TOC__ | ||
- | == | + | ==Definición== |
<br/> | <br/> | ||
- | + | La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] | |
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- | + | \mathbf{A} | |
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- | + | de orden | |
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- | + | ||
- | + | ||
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- | + | es la matriz cuadrada | |
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- | \ | + | \mathbf{A}^{-1} |
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- | + | ||
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- | + | tambien de orden | |
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- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
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- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
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- | + | n | |
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- | + | que verifica: | |
<br/> | <br/> | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I | |
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<br/> | <br/> | ||
- | + | donde | |
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- | \ | + | \mathbf{I} |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
- | + | es la | |
- | + | [[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden | |
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- | + | n | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
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- | + | . | |
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ==Existencia de la matriz inversa== | |
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- | + | ||
- | + | ||
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<br/> | <br/> | ||
- | + | Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO | |
- | + | tienen inversa, '''''singulares'''''. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | . | + | |
<br/> | <br/> | ||
- | Una | + | Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n. |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero. | |
<br/> | <br/> | ||
- | + | ==Propiedades== | |
- | + | ||
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- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes: | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 1. Si existe, | |
- | <math> | + | <math> |
- | + | \mathbf{A}^{-1} | |
</math> | </math> | ||
- | + | es única. | |
- | + | ||
- | + | ||
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- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 2. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<math> | <math> | ||
- | \left | + | \left( |
- | \ | + | \mathbf{A}^{-1} |
- | + | \right) | |
- | + | ^{-1} = \mathbf{A} | |
- | + | ||
- | \ | + | |
- | + | ||
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- | |||
- | |||
- | |||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 3. | |
<math> | <math> | ||
- | + | \left( | |
+ | \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} | ||
+ | \right) | ||
+ | ^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1} | ||
</math> | </math> | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 4. El determinante de una matriz regular | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \mathbf{A} |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
- | + | es el inverso del determinante de su matriz inversa: | |
- | + | ||
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- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
<br/> | <br/> | ||
- | == | + | ==Cálculo de la matriz inversa== |
<br/> | <br/> | ||
- | + | La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras: | |
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales=== | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | de | + | |
<br/> | <br/> | ||
- | + | ====Ejemplo==== | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | = | + | <center> |
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} = | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \\ | ||
+ | 3 & 7 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | hacemos | |
<br/> | <br/> | ||
Línea 438: | Línea 152: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \mathbf{A}^{-1} = |
- | + | \left( | |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | a & b | |
- | + | \\ | |
- | + | c & d | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right) | |
- | \right | + | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 452: | Línea 165: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | como | |
<br/> | <br/> | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
+ | I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow | ||
\left( | \left( | ||
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 1 & 2 | |
- | + | \\ | |
- | + | 3 & 7 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right) | |
- | + | \cdot | |
- | + | \left( | |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | a & b | |
- | + | \\ | |
- | + | c & d | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right) | |
- | + | = | |
- | + | \left( | |
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 & 1 | ||
+ | \end{array} | ||
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Línea 481: | Línea 200: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | Operando: | |
<br/> | <br/> | ||
Línea 488: | Línea 207: | ||
<math> | <math> | ||
\left( | \left( | ||
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | a + 2c & b + 2d | |
- | + | \\ | |
- | + | 3a + 7c & 3b + 7d | |
- | + | \end{array} | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
\right) | \right) | ||
+ | = | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 & 1 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | \Leftrightarrow | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | a + 2c & = & 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | 3a + 7c & = & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | b + 2d & = & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 3b + 7d & = & 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 510: | Línea 239: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | <center> | |
- | + | <math> | |
+ | \Rightarrow \left\{ | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | a & = & 7 | ||
+ | \\ | ||
+ | b & = & -2 | ||
+ | \\ | ||
+ | c & = & -3 | ||
+ | \\ | ||
+ | d & = & 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ===Por el método de Gauss=== | |
<br/> | <br/> | ||
- | < | + | La inversa de una matriz regular |
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} | ||
+ | </math> | ||
+ | se puede calcular transformando la matriz | ||
<math> | <math> | ||
\left( | \left( | ||
- | + | \, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. | |
- | + | \right) | |
- | + | </math> | |
- | + | mediante operaciones elementales con las filas de la matriz | |
- | + | <math> | |
- | + | \left( | |
- | + | \, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | |||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ====Operaciones elementales con las filas de una matriz==== | |
<br/> | <br/> | ||
- | + | Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en | |
- | + | el metodo de Gauss son las siguientes: | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 1. Intercambiar las filas | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<math> | <math> | ||
- | + | F_i | |
</math> | </math> | ||
- | | + | y |
+ | <math> | ||
+ | F_j | ||
+ | </math>. | ||
+ | Esta operación la representaremos así | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 578: | Línea 304: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | F_i \longleftrightarrow F_j | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ||
+ | 2. Multiplicar la fila | ||
<math> | <math> | ||
- | + | F_i | |
</math> | </math> | ||
- | por | + | por el número |
<math> | <math> | ||
- | + | s \neq 0 | |
</math> | </math> | ||
- | | + | y sustituir |
+ | <math> | ||
+ | F_i | ||
+ | </math> | ||
+ | por | ||
+ | <math> | ||
+ | s \cdot F_i | ||
+ | </math>. | ||
+ | Esta operación la representamos de la | ||
+ | siguiente forma: | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 597: | Línea 333: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | s \cdot F_i \longrightarrow F_i |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 609: | Línea 339: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | 3. Sumar las filas | |
<math> | <math> | ||
- | + | F_i | |
</math> | </math> | ||
- | , | + | y |
+ | <math> | ||
+ | F_j | ||
+ | </math>, | ||
+ | multiplicadas por sendos números, | ||
<math> | <math> | ||
- | + | s | |
</math> | </math> | ||
- | |||
- | |||
y | y | ||
- | |||
- | |||
<math> | <math> | ||
- | + | t | |
- | </math> | + | </math>, |
- | + | y sustituir | |
<math> | <math> | ||
- | + | F_i | |
</math> | </math> | ||
- | : | + | por el resultado de esta suma. Lo representamos así: |
<br/> | <br/> | ||
Línea 635: | Línea 365: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 641: | Línea 371: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | que | + | Notese que el segundo tipo de operación, |
+ | <math> | ||
+ | s \cdot F_i \longrightarrow F_i | ||
+ | </math>, | ||
+ | | ||
+ | es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando | ||
+ | <math> | ||
+ | t = 0 | ||
+ | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ===Mediante la matriz adjunta=== | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | La matriz inversa de una matriz regular | |
- | + | <math> | |
- | + | \mathbf{A} | |
+ | </math> | ||
+ | se puede calcular mediante la expresión: | ||
<br/> | <br/> | ||
<center> | <center> | ||
- | <math> | + | <math> |
- | \mathbf{A} \ | + | \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot |
- | </math> | + | \left[ |
- | </center> | + | \makebox{Adj} |
+ | \left( | ||
+ | \, \mathbf{A} \, | ||
+ | \right) | ||
+ | \right] | ||
+ | ^t | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | donde | |
<math> | <math> | ||
- | \mathbf{A} | + | \makebox{Adj} |
+ | \left( | ||
+ | \, \mathbf{A} \, | ||
+ | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | | + | es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de |
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
- | </math> | + | </math>. |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ====Definición de matriz adjunta==== | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada | |
+ | | ||
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
</math> | </math> | ||
- | | + | se llama '''''matriz adjunta''''' de |
<math> | <math> | ||
- | \mathbf{ | + | \mathbf{A} |
</math> | </math> | ||
- | + | y se denota por | |
- | + | <math> | |
- | < | + | \makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) |
- | + | </math>. | |
- | + | El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de | |
- | + | ||
- | < | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
</math> | </math> | ||
- | | + | es |
+ | <math> | ||
+ | A_{ij} | ||
+ | </math>, | ||
+ | el adjunto del elemento de | ||
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
</math> | </math> | ||
- | + | en su fila i-esima y columna j-esima | |
- | + | <math> | |
+ | \left( \, a_{ij} \, \right)} | ||
+ | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ====Ejemplo==== | |
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores | ||
+ | complementarios]] de los elementos de la matriz | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 733: | Línea 471: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \left | + | \mathbf{A} = |
- | \begin{array}{ | + | \left( |
- | + | \begin{array}{ccc} | |
+ | 1 & 2 & 3 | ||
\\ | \\ | ||
- | + | 4 & 5 & 6 | |
\\ | \\ | ||
- | + | 7 & 8 & 0 | |
- | + | ||
- | + | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right | + | \right) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 749: | Línea 486: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | son | |
<br/> | <br/> | ||
Línea 755: | Línea 492: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \begin{array}{ccc} | |
- | { | + | \alpha_{11} = |
- | + | \left| | |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 5 & 6 | |
- | + | \\ | |
- | + | 8 & 0 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right| | |
- | + | & | |
- | + | \qquad \alpha_{12} = | |
- | \end{array} | + | \left| |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 4 & 6 | |
- | + | \\ | |
- | + | 7 & 0 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right| | |
- | + | & | |
- | + | \qquad \alpha_{13} = | |
- | + | \left| | |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 4 & 5 | |
- | + | \\ | |
- | + | 7 & 8 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right| | |
- | + | \end{array} | |
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | |||
- | |||
- | |||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \begin{array}{ccc} |
- | { | + | \alpha_{21} = |
- | + | \left| | |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 2 & 3 | |
- | + | \\ | |
- | + | 8 & 0 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right| | |
- | + | & | |
- | + | \qquad \alpha_{22} = | |
- | \end{array} | + | \left| |
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 1 & 3 | |
- | {|\ | + | \\ |
- | \ | + | 7 & 0 |
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | & | ||
+ | \qquad \alpha_{23} = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \\ | ||
+ | 7 & 8 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{array}{ccc} | ||
+ | \alpha_{31} = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 2 & 3 | ||
+ | \\ | ||
+ | 5 & 6 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | & | ||
+ | \qquad \alpha_{32} = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 3 | ||
+ | \\ | ||
+ | 4 & 6 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | & | ||
+ | \qquad \alpha_{33} = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{array}[c]{cc} | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \\ | ||
+ | 4 & 5 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 813: | Línea 589: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | Los adjuntos de los elementos de | |
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} | ||
+ | </math> | ||
+ | son: | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 819: | Línea 599: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \begin{array}{ccccccccccc} | |
+ | A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3 | ||
+ | \\ | ||
+ | A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6 | ||
+ | \\ | ||
+ | A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 | ||
+ | &\end{array} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 825: | Línea 611: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | La matriz adjunta de | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
</math> | </math> | ||
- | | + | es |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 850: | Línea 621: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \left\{ | + | \makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = |
- | \begin{array} | + | \left( |
- | + | \begin{array}{ccc} | |
- | + | -48 & ~42 & -3 | |
- | + | \\ | |
- | + | ~24 & -21 & ~6 | |
- | \right | + | \\ |
+ | ~-3 & ~~6 & -3 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 862: | Línea 636: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | El determinante de | |
<math> | <math> | ||
\mathbf{A} | \mathbf{A} | ||
</math> | </math> | ||
- | + | lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila: | |
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | |\mathbf{A} | + | \left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} |
- | + | \cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \, | |
- | + | -3 \, \right) = 25 | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | \right | + | |
- | \ | + | |
</math> | </math> | ||
- | + | </center> | |
<br/> | <br/> | ||
+ | Por lo tanto, la matriz inversa de | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} | ||
+ | </math> | ||
+ | es | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot | |
- | { | + | \left[ |
- | + | \makebox{Adj} | |
- | + | \left( | |
- | + | \, \mathbf{A} \, | |
- | + | \right) | |
- | + | \right] | |
- | + | ^t = | |
- | \ | + | \frac{1}{25} \cdot |
- | + | \left( | |
- | + | \begin{array}{ccc} | |
- | \ | + | -48 & ~24 & -3 |
- | + | \\ | |
- | + | ~42 & -21 & ~6 | |
- | + | \\ | |
- | + | ~-3 & ~~6 & -3 | |
- | + | \end{array} | |
- | + | \right) | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | ==Ejercicios resueltos== | |
+ | |||
+ | {{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices] | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden es la matriz cuadrada tambien de orden que verifica:
donde es la matriz identidad de orden .
Existencia de la matriz inversa
Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.
Propiedades
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
1. Si existe, es única.
2.
3.
4. El determinante de una matriz regular es el inverso del determinante de su matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo
hacemos
como
Operando:
Por el método de Gauss
La inversa de una matriz regular se puede calcular transformando la matriz mediante operaciones elementales con las filas de la matriz
Operaciones elementales con las filas de una matriz
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:
1. Intercambiar las filas y . Esta operación la representaremos así
2. Multiplicar la fila por el número y sustituir por . Esta operación la representamos de la siguiente forma:
3. Sumar las filas y , multiplicadas por sendos números, y , y sustituir por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
Notese que el segundo tipo de operación, , es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando .
Mediante la matriz adjunta
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular mediante la expresión:
donde es la matriz adjunta de .
Definición de matriz adjunta
La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada se llama matriz adjunta de y se denota por . El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de es , el adjunto del elemento de en su fila i-esima y columna j-esima .
Ejemplo
Los menores complementarios de los elementos de la matriz
son
Los adjuntos de los elementos de son:
La matriz adjunta de es
El determinante de lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:
Por lo tanto, la matriz inversa de es
Ejercicios resueltos
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