Matriz inversa
De Wikillerato
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- | se calcular transformando la matriz | + | se puede calcular transformando la matriz |
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- | ===Definición de matriz adjunta=== | + | ====Definición de matriz adjunta==== |
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A_{ij} | A_{ij} | ||
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- | + | el adjunto del elemento de | |
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- | + | \mathbf{A} | |
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- | ==Ejemplo== | + | ====Ejemplo==== |
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- | Los menores complementarios de la matriz | + | Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores |
+ | complementarios]] de los elementos de la matriz | ||
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\alpha_{21} = | \alpha_{21} = | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{ccccccccccc} | \begin{array}{ccccccccccc} | ||
- | A_{11} & = & - | + | A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3 |
\\ | \\ | ||
- | A_{21} & = & ~ | + | A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6 |
\\ | \\ | ||
- | A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & | + | A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 |
&\end{array} | &\end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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\left( | \left( | ||
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
- | - | + | -48 & ~42 & -3 |
\\ | \\ | ||
- | ~ | + | ~24 & -21 & ~6 |
\\ | \\ | ||
- | -3 & | + | ~-3 & ~~6 & -3 |
\end{array} | \end{array} | ||
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- | + | El determinante de | |
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} | ||
+ | </math> | ||
+ | lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila: | ||
- | <br> | + | <br/> |
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+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} | ||
+ | \cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \, | ||
+ | -3 \, \right) = 25 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Por lo tanto, la matriz inversa de | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A} | ||
+ | </math> | ||
+ | es | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot | ||
+ | \left[ | ||
+ | \makebox{Adj} | ||
+ | \left( | ||
+ | \, \mathbf{A} \, | ||
+ | \right) | ||
+ | \right] | ||
+ | ^t = | ||
+ | \frac{1}{25} \cdot | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}{ccc} | ||
+ | -48 & ~24 & -3 | ||
+ | \\ | ||
+ | ~42 & -21 & ~6 | ||
+ | \\ | ||
+ | ~-3 & ~~6 & -3 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ==Ejercicios resueltos== | ||
- | [http://www. | + | {{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices] |
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada
de orden
es la matriz cuadrada
tambien de orden
que verifica:
donde
es la
matriz identidad de orden
.
Existencia de la matriz inversa
Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.
Propiedades
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
1. Si existe,
es única.
2.
3.
4. El determinante de una matriz regular
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo
hacemos
como
Operando:
Por el método de Gauss
La inversa de una matriz regular
se puede calcular transformando la matriz
mediante operaciones elementales con las filas de la matriz
Operaciones elementales con las filas de una matriz
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:
1. Intercambiar las filas
y
.
Esta operación la representaremos así
2. Multiplicar la fila
por el número
y sustituir
por
.
Esta operación la representamos de la
siguiente forma:
3. Sumar las filas
y
,
multiplicadas por sendos números,
y
,
y sustituir
por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
Notese que el segundo tipo de operación,
,
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando
.
Mediante la matriz adjunta
La matriz inversa de una matriz regular
se puede calcular mediante la expresión:
donde
es la matriz adjunta de
.
Definición de matriz adjunta
La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
se llama matriz adjunta de
y se denota por
.
El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
es
,
el adjunto del elemento de
en su fila i-esima y columna j-esima
.
Ejemplo
Los menores complementarios de los elementos de la matriz
son
Los adjuntos de los elementos de
son:
La matriz adjunta de
es
El determinante de
lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:
Por lo tanto, la matriz inversa de
es
Ejercicios resueltos
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