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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:42 4 sep 2012) (editar) (deshacer)
 
(65 ediciones intermedias no se muestran.)
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-
 
__TOC__
__TOC__
Línea 7: Línea 5:
<br/>
<br/>
-
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
+
La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
Línea 15: Línea 13:
n,
n,
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz, &nbsp;
+
&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}^{-1}
\mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
-
, &nbsp; de orden &nbsp;
+
&nbsp; tambien de orden &nbsp;
<math>
<math>
n
n
Línea 37: Línea 35:
donde &nbsp;
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
I
+
\mathbf{I}
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz identidad de orden &nbsp;
+
&nbsp; es la
 +
[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
<math>
<math>
n
n
Línea 47: Línea 46:
<br/>
<br/>
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
+
==Existencia de la matriz inversa==
-
singulares.
+
<br/>
<br/>
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
+
Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
 +
tienen inversa, '''''singulares'''''.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Propiedades==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
<br/>
<br/>
Línea 67: Línea 82:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\mathbf{A}^{-1}
+
\mathbf{A}^{-1}
\right)
\right)
^{-1} = \mathbf{A}
^{-1} = \mathbf{A}
Línea 77: Línea 92:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
\right)
\right)
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
4. El determinante de una matriz regular
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 88: Línea 119:
<br/>
<br/>
-
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
+
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
<br/>
<br/>
-
===Mediante la definicion===
+
===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
<br/>
<br/>
Línea 104: Línea 135:
\mathbf{A} =
\mathbf{A} =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 2
+
1 & 2
-
\\
+
\\
-
3 & 7
+
3 & 7
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 123: Línea 154:
\mathbf{A}^{-1} =
\mathbf{A}^{-1} =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a & b
+
a & b
-
\\
+
\\
-
c & d
+
c & d
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 142: Línea 173:
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 2
+
1 & 2
-
\\
+
\\
-
3 & 7
+
3 & 7
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
\cdot
\cdot
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a & b
+
a & b
-
\\
+
\\
-
c & d
+
c & d
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
=
=
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
1 & 0
-
\\
+
\\
-
0 & 1
+
0 & 1
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 176: Línea 207:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a + 2c & b + 2d
+
a + 2c & b + 2d
-
\\
+
\\
-
3a + 7c & 3b + 7d
+
3a + 7c & 3b + 7d
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
=
=
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
1 & 0
-
\\
+
\\
-
0 & 1
+
0 & 1
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
\left\{
\left\{
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
a + 2c & = & 1
+
a + 2c & = & 1
-
\\
+
\\
-
3a + 7c & = & 0
+
3a + 7c & = & 0
-
\\
+
\\
-
b + 2d & = & 0
+
b + 2d & = & 0
-
\\
+
\\
-
3b + 7d & = & 1
+
3b + 7d & = & 1
-
\\
+
\\
-
\end{array}
+
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 211: Línea 242:
<math>
<math>
\Rightarrow \left\{
\Rightarrow \left\{
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
a & = & 7
+
a & = & 7
-
\\
+
\\
-
b & = & -2
+
b & = & -2
-
\\
+
\\
-
c & = & -3
+
c & = & -3
-
\\
+
\\
-
d & = & 1
+
d & = & 1
-
\\
+
\\
-
\end{array}
+
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 227: Línea 258:
<br/>
<br/>
-
===Método de Gauss-Jordan===
+
===Por el método de Gauss===
<br/>
<br/>
Línea 235: Línea 266:
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
+
&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
Línea 241: Línea 272:
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
+
&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
Línea 250: Línea 281:
<br/>
<br/>
-
====Operaciones elementales por filas en una matriz====
+
====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
<br/>
<br/>
-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
+
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
 +
el metodo de Gauss son las siguientes:
<br/>
<br/>
Línea 294: Línea 326:
s \cdot F_i
s \cdot F_i
</math>.
</math>.
-
&nbsp; Esta operación la representamos de la
+
&nbsp; Esta operación la representamos de la
siguiente forma:
siguiente forma:
Línea 342: Línea 374:
<math>
<math>
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
-
</math>
+
</math>,
&nbsp;
&nbsp;
-
es un caso particular de esta última que se tiene cuando &nbsp;
+
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
<math>
<math>
t = 0
t = 0
Línea 351: Línea 383:
<br/>
<br/>
-
==Ejercicios resueltos==
+
===Mediante la matriz adjunta===
-
<br>
+
<br/>
 +
 
 +
La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
 +
\left[
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde &nbsp;
 +
<math>
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Definición de matriz adjunta====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; y se denota por &nbsp;
 +
<math>
 +
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
 +
</math>.
 +
&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
A_{ij}
 +
</math>,
 +
&nbsp; el adjunto del elemento de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
en su fila i-esima y columna j-esima
 +
<math>
 +
\left( \, a_{ij} \, \right)}
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Ejemplo====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
 +
complementarios]] de los elementos de la matriz
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A} =
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
4 & 5 & 6
 +
\\
 +
7 & 8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
son
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{11} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
5 & 6
 +
\\
 +
8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{12} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
4 & 6
 +
\\
 +
7 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{13} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
4 & 5
 +
\\
 +
7 & 8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{21} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
 +
\\
 +
8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{22} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
 +
\\
 +
7 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{23} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
7 & 8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{31} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
 +
\\
 +
5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{32} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
 +
\\
 +
4 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{33} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
4 & 5
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; son:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccccccccccc}
 +
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
 +
\\
 +
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
 +
\\
 +
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
 +
&\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La matriz adjunta de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; es
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
-48 & ~42 & -3
 +
\\
 +
~24 & -21 & ~6
 +
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El determinante de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
 +
\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
 +
-3 \, \right) = 25
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Por lo tanto, la matriz inversa de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
 +
\left[
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t =
 +
\frac{1}{25} \cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
-48 & ~24 & -3
 +
\\
 +
~42 & -21 & ~6
 +
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
==Ejercicios resueltos==
-
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=46 Producto e invertibilidad de matrices]
+
{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices]
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   \mathbf{A}   de orden   n,   es la matriz cuadrada   \mathbf{A}^{-1}   tambien de orden   n   que verifica:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   \mathbf{I}   es la matriz identidad de orden   n .


Existencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   \mathbf{A}^{-1}   es única.


2.   \left( </p> <pre>\mathbf{A}^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = \mathbf{A}


3.   \left( </p> <pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} </pre> <p>\right) ^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


4. El determinante de una matriz regular \mathbf{A} es el inverso del determinante de su matriz inversa:


\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}


Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo


\mathbf{A} = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


\mathbf{A}^{-1} = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right)


como


I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre>\begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre>\begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   \mathbf{A}   se puede calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   F_i   y   F_j .   Esta operación la representaremos así


F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   F_i   por el número   s \neq 0   y sustituir   F_i   por   s \cdot F_i .   Esta operación la representamos de la siguiente forma:


s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   F_i   y   F_j ,   multiplicadas por sendos números, s y t , y sustituir   F_i   por el resultado de esta suma. Lo representamos así:


s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   s \cdot F_i \longrightarrow F_i ,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   t = 0 .


Mediante la matriz adjunta


La matriz inversa de una matriz regular   \mathbf{A}   se puede calcular mediante la expresión: 



\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t


donde   </p> <pre>\makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) </pre> <p>   es la matriz adjunta de   \mathbf{A} .


Definición de matriz adjunta


La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   \mathbf{A}   se llama matriz adjunta de   \mathbf{A}   y se denota por   \makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) .   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de \mathbf{A} es   A_{ij} ,   el adjunto del elemento de \mathbf{A} en su fila i-esima y columna j-esima \left( \, a_{ij} \, \right)} .


Ejemplo


Los menores complementarios de los elementos de la matriz


\mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right)


son


\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{12} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{13} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}

\begin{array}{ccc} \alpha_{21} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{22} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{23} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}

\begin{array}{ccc} \alpha_{31} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{32} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{33} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


Los adjuntos de los elementos de   \mathbf{A}   son:


\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6 \\ A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}


La matriz adjunta de   \mathbf{A}   es


\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} </pre> <p>-48 & ~42 & -3 \\ ~24 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)


El determinante de \mathbf{A} lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:


\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \, </p> <pre> -3 \, \right) = 25 </pre> <p>


Por lo tanto, la matriz inversa de \mathbf{A} es

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot </p> <pre>\left[ \makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \right] ^t = \frac{1}{25} \cdot \left( \begin{array}{ccc} </pre> <p>-48 & ~24 & -3 \\ ~42 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)

Ejercicios resueltos

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Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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