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Propiedades de las derivadas

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Tabla de contenidos



Derivada una función constante


La derivada de una función constante es cero.


Ejemplo


Si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 1, \, \forall x \in \mathbb{R}
,   entonces


\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}


Derivada de una suma de funciones


La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:



\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime =
\mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime


Derivada de una diferencia de funciones


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,


Ejemplo



\left(
</p>
<pre> \, x^2 - x \,
</pre>
<p>\right)^\prime =
\left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1


Derivada de un producto de funciones


La derivada del producto de dos funciones,   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
, viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,


Ejemplo



\left(
</p>
<pre> \, x^2 \cdot x \,
</pre>
<p>\right)^\prime =
\left(  \,  x^2  \,  \right)^\prime  \cdot   x  +  x^2  \cdot  \left(  \,  x  \,
\right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2

Observese que   
x^2 \cdot x = x^3
  y que la derivada de   
x^3
  es precisamente   
3x^2
.


Derivada de un cociente de funciones


La derivada del cociente   
\frac{f}{g}
  viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}


Ejemplo



\left(
</p>
<pre> \, \frac{x^2}{e^x} \,
</pre>
<p>\right)
^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(, e^x \, \right)^2} =
</p>
<pre>\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} 
</pre>
<p>


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