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Matriz inversa

De Wikillerato

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  de orden   
n,
  es la matriz cuadrada   
\mathbf{A}^{-1}
  tambien de orden   
n
  que verifica:



\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   
\mathbf{I}
  es la matriz identidad de orden   
n
.


Exitencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa matrices singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si y solo si su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si y solo si su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   
\mathbf{A}^{-1} 
  es única.


2.   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3.   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Cálculo de la matriz inversa


Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Operando:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a + 2c & b + 2d
   \\
   3a + 7c & 3b + 7d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a + 2c & = & 1
   \\
   3a + 7c & = & 0
   \\
   b + 2d & = & 0
   \\
   3b + 7d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a & = & 7
   \\
   b & = & -2
   \\
   c & = & -3
   \\
   d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última que se tiene cuando   
t = 0
.


Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

   
 
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