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La divisibilidad en los polinomios

De Wikillerato

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==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
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Por lo tanto el polinomio &nbsp;
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Por lo tanto, el polinomio &nbsp;
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x^2 - 3x + 2
x^2 - 3x + 2
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x - 2
x - 2
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son divisores del polinomio
+
&nbsp; son divisores del polinomio
&nbsp;
&nbsp;
<math>
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&nbsp; de grado
&nbsp; de grado
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n
+
n > 0
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se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado
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Por '''''factorización de un polinomio''''' se entiende su descomposición en
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===Ejemplos===
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forma de producto de polinomios irreducibles.
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===Ejemplos de polinomios irreducibles===
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===Ejemplo de factorización de un polinomio===
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==Factorización de polinomios==
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Por '''''factorización de un polinomio''''' se entiende su descomposición en
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forma de producto de polinomios irreducibles.
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===Ejemplo===
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==Simplificación de fracciones algebraicas==
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[[Category:Matemáticas]]
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Una '''''fracción algebraica''''' es el cociente de dos polinomios.
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Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el
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numerador y en el denominador por su maximo común divisor.
+
-
Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar
+
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previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de
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calcular el maximo común divisor de dos números naturales.
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En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los
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polinomios irreducibles que se obtengan verifiquen lo siguiente:
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Si &nbsp;
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<math>
+
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
+
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</math>
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&nbsp; es un polinomio irreducible de grado
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math> obtenido en la factorización de un polinomio,
+
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entonces el coeficiente que multiplica a &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x^n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en &nbsp;
+
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<math>
+
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
+
-
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+
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&nbsp; es 1.
+
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-
 
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De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores
+
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comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del
+
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denominador ).
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===Ejemplo===
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<center>
+
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<math>
+
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\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x
+
-
\cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es,
+
-
en este caso,
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>.
+

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es divisible por otro polinomio   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  cuando existe otro polinomio   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  se llaman divisores de   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
.


Ejemplo



x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   
x^2 - 3x + 2
  es divisible por los polinomios   
x - 1
  y   
x - 2 
, o dicho de otra manera, los polinomios   
x - 1 
  y   
x - 2
  son divisores del polinomio   
x^2 - 3x + 2
.


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de grado 
n > 0
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que 
n
y mayor que 0 es divisor de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:


\begin{array}{l}
</p>
<pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1
</pre>
<p>\\
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
\end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1  = \left( \, 2x - 2  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{2} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right)
</pre>
<p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real 
a
distinto de 0, se tiene que


x^3 - 1  = \left( \, ax - a  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{a} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right)
</pre>
<p>


   
 
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