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La divisibilidad en los polinomios

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Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es divisible por otro polinomio   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  cuando existe otro polinomio   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  se llaman divisores de   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
.


Ejemplo



x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   
x^2 - 3x + 2
  es divisible por los polinomios   
x - 1
  y   
x - 2 
, o dicho de otra manera, los polinomios   
x - 1 
  y   
x - 2
  son divisores del polinomio   
x^2 - 3x + 2
.


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de grado 
n > 0
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que 
n
y mayor que 0 es divisor de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:


\begin{array}{l}
</p>
<pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1
</pre>
<p>\\
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
\end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1  = \left( \, 2x - 2  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{2} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right)
</pre>
<p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real 
a
distinto de 0, se tiene que


x^3 - 1  = \left( \, ax - a  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{a} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right)
</pre>
<p>


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