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Función derivada de la composición de funciones

De Wikillerato

Revisión a fecha de 18:48 2 ene 2011; Fjmolina (Discutir | contribuciones)
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El componer dos funciones   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
  consiste en aplicar   
\mathrm{g}
  al resultado de calcular   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
:



x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
\left(  \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \right)


La derivada de   
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
  viene dada por la fórmula:



\left(
   \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Ejemplo


Calculemos la derivada de



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2  \, \right)


  
\mathrm{h}
  es la composición de dos funciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, x^2
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x  \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Es decir



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


Para derivar   
\mathrm{h} \left( \, x  \, \right)
  utilizamos la regla de la cadena:



</p>
<pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
</pre>
<p>


Como



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x 
   \\
   \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x  \, \right)  
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


se tiene que



\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
 \, x^2 \, \right) \cdot 2x 
</pre>
<p>


   
 
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