Indeterminaciones
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Introducción
Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales
, el coseno, el seno, etc.
Si una función
es continua en
,
el limite de
cuando
tiende a
se puede calcular simplemente evaluando
en
.
Ejemplo
Como
es una función continua en todo
se tiene que
Indeterminación del tipo 0/0
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.
Por ejemplo, si existen los limites
y
entonces se puede calcular el límite
dividiendo
entre
:
¿Pero que sucede cuando
?
Pueden darse dos casos:
- 1.
, o bien
- 2.
.
En este último caso, de exisir el limite
se ha de calcular de otra manera.
Procedimiento 1
Si
y
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por
,
cuantas veces sea posible.
Ejemplo
Calculemos el limite
con
Ambos polinomios,
y
,
se anulan en
,
por lo tanto ambos son divisibles por
.
Si dividimos
y
por
una vez y luego otra, nos queda que
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.
Procedimiento 2
Independientemente de como sean
y
se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
Si existe
ya sea
real, infinito o menos infinito, entonces
donde
y
son las derivadas de
y
.
Ejemplo
Calculemos
Como la funcion seno y la funcion identidad
son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir
por cero en
con lo que obtenemos la indeterminación
.
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y
el denominador en
obtenemos
que cuando
tiende a
tiende a 1.
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua