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Indeterminaciones

De Wikillerato

Tabla de contenidos

[editar] Introducción

Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.

Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales   
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
  , el coseno, el seno, etc.

Si una función 
\mathrm{f}
es continua en   
x_0 \in \mathbb{R}
,   el limite de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0 
  se puede calcular simplemente evaluando 
\mathrm{f}
en   
x_0
.


[editar] Ejemplo 0

Como   
\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2
  es una función continua en todo 
\mathbb{R}
se tiene que


\lim_{x \to  5} \mathrm{f} \left( \,  x \, \right)  = \mathrm{f} \left( \,  5 \,
\right) = 25


[editar] Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si existen los limites


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)

y


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0

entonces se puede calcular el límite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

dividiendo   
</p>
<pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>   entre   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
 \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

¿Pero que sucede cuando 
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
?


Pueden darse dos casos:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 .


En este último caso, de existir el limite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

se ha de calcular de otra manera.


[editar] Procedimiento 1


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por   
x - x_0
, cuantas veces sea posible.


[editar] Ejemplo 1


Calculemos el limite


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

con


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Ambos polinomios, 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
, se anulan en   
x = 1
,   por lo tanto ambos son divisibles por   
x - 1
.


Si dividimos 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
por   
x - 1
  una vez y luego otra, nos queda que


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
</pre>
<p>\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} =
\frac{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)}
{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = 
\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}

Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.


[editar] Procedimiento 2


Tanto si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:


Si existe


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

ya sea   
x_0
  real, infinito o menos infinito, entonces


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
\lim_{x     \to    x_0}     \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} 
</pre>
<p>

donde   
\mathrm{f}^\prime 
  y   
\mathrm{g}^\prime 
  son las derivadas de 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
.


[editar] Ejemplo 2


Calculemos


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

Como la funcion seno y la funcion identidad   
\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)
  son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir   
x
  por cero en


\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

con lo que obtenemos la indeterminación   
\frac{0}{0}
.


Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en   
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
  obtenemos   
\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}
  que cuando 
x
tiende a 
0
tiende a 1.


Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua


\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1


[editar] Ejemplo 3


Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} =
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)}
{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} = 
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}


[editar] Indeterminación del tipo infinito/infinito


Supongamos que queremos calcular el limite de


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

y que   
</p>
<pre>   \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty 
</pre>
<p>.


Puede darse dos casos, o bien:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R} ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty .


En el primer caso 
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = 0
</pre>
<p>.


En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.


[editar] Procedimiento 3


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios y   
x_0
  es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:


  1. 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de  x en el denominador y el numerador (  x elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )


  1. 2. se simplifican las fracciones de potencias de  x , y


  1. 3. se hace tender  x a  \infty .


[editar] Ejemplo 4



\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x  \to \infty }  \frac{\frac{x^2}{x^3} -  \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} +
</p>
<pre> \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =
</pre>
<p>\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 +
</p>
<pre> \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 
</pre>
<p>


</p>
<pre>= \frac{\lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}
    \, \right)}{\lim_{x \to \infty } \left( \, 1 +
 \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0
</pre>
<p>

Observese que tanto el denominador como el numerador de


\frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1}

tienden a 
\infty 
cuando 
x
tiende a 
\infty
.


Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{3x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{6x} = 0


[editar] Indeterminación del tipo 0 por infinito


Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).

Si   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
  y   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \,  x \, \right) \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

se puede reescribir de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{g} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)} = \infty



Alternativamente el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

se puede poner como


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{0}{0}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = 0


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