Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Indeterminaciones

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Introducción

Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.

Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales   
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
  , el coseno, el seno, etc.

Si una función 
\mathrm{f}
es continua en   
x_0 \in \mathbb{R}
,   el limite de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0 
  se puede calcular simplemente evaluando 
\mathrm{f}
en   
x_0
.


Ejemplo 0

Como   
\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2
  es una función continua en todo 
\mathbb{R}
se tiene que


\lim_{x \to  5} \mathrm{f} \left( \,  x \, \right)  = \mathrm{f} \left( \,  5 \,
\right) = 25


Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si existen los limites


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)

y


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0

entonces se puede calcular el límite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

dividiendo   
</p>
<pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>   entre   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
 \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

¿Pero que sucede cuando 
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
?


Pueden darse dos casos:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 .


En este último caso, de existir el limite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

se ha de calcular de otra manera.


Procedimiento 1


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por   
x - x_0
, cuantas veces sea posible.


Ejemplo 1


Calculemos el limite


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

con


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Ambos polinomios, 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
, se anulan en   
x = 1
,   por lo tanto ambos son divisibles por   
x - 1
.


Si dividimos 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
por   
x - 1
  una vez y luego otra, nos queda que


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
</pre>
<p>\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} =
\frac{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)}
{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = 
\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}

Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.


Procedimiento 2


Tanto si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:


Si existe


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

ya sea   
x_0
  real, infinito o menos infinito, entonces


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
\lim_{x     \to    x_0}     \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} 
</pre>
<p>

donde   
\mathrm{f}^\prime 
  y   
\mathrm{g}^\prime 
  son las derivadas de 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
.


Ejemplo 2


Calculemos


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

Como la funcion seno y la funcion identidad   
\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)
  son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir   
x
  por cero en


\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

con lo que obtenemos la indeterminación   
\frac{0}{0}
.


Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en   
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
  obtenemos   
\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}
  que cuando 
x
tiende a 
0
tiende a 1.


Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua


\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1


Ejemplo 3


Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} =
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)}
{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} = 
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}


Indeterminación del tipo infinito/infinito


Supongamos que queremos calcular el limite de


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

y que   
</p>
<pre>   \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty 
</pre>
<p>.


Puede darse dos casos, o bien:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R} ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty .


En el primer caso 
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = 0
</pre>
<p>.


En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.


Procedimiento 3


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios y   
x_0
  es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:


  1. 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de  x en el denominador y el numerador (  x elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )


  1. 2. se simplifican las fracciones de potencias de  x , y


  1. 3. se hace tender  x a  \infty .


Ejemplo 4



\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x  \to \infty }  \frac{\frac{x^2}{x^3} -  \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} +
</p>
<pre> \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =
</pre>
<p>\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 +
</p>
<pre> \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 
</pre>
<p>


</p>
<pre>= \frac{\lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}
    \, \right)}{\lim_{x \to \infty } \left( \, 1 +
 \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0
</pre>
<p>

Observese que tanto el denominador como el numerador de


\frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1}

tienden a 
\infty 
cuando 
x
tiende a 
\infty
.


Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{3x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{6x} = 0


Indeterminación del tipo 0 por infinito


Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).

Si   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
  y   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \,  x \, \right) \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

se puede reescribir de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{g} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)} = \infty



Alternativamente el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

se puede poner como


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{0}{0}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = 0


Cargando feed...
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.