La divisibilidad en los polinomios
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Definición de polinomio DIVISIBLE por otro
Un polinomio es divisible por otro polinomio cuando existe otro polinomio tal que
Los polinomios y se llaman divisores de .
Ejemplo
Por lo tanto, el polinomio es divisible por los polinomios y , o dicho de otra manera, los polinomios y son divisores del polinomio .
Definición de polinomio IRREDUCIBLE
Un polinomio de grado se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que y mayor que 0 es divisor de .
Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.
Ejemplos
Los siguientes dos polinomios son irreducibles:
Factorización de polinomios
Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.
Ejemplo
Una descomposición del polinomio en producto de polinomios irreducibles es
Otra posible descomposición del polinomio en producto de polinomios irreducibles es
De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real distinto de 0, se tiene que
Simplificación de fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el numerador y en el denominador por su maximo común divisor. Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de calcular el maximo común divisor de dos números naturales.
En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los polinomios irreducibles de la descomposición se elijan de manera que si es un polinomio irreducible de grado obtenido en la factorización de un polinomio, entonces el coeficiente que multiplica a en sea 1.
De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del denominador ).
Ejemplo
El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es, en este caso, .
Procedimiento para factorizar un polinomio
1. Sacamos factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.
2. Si el polinomio es de grado dos:
resolvemos la ecuación
Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones y , entonces podemos factorizar de la siguiente manera:
Puede ocurrir que y coincidan ( sean iguales ).
3. Si el polinomio
• es de grado mayor que dos
• sus coeficientes son enteros, y
• es un número entero
intentamos encontrar las raices reales del polinomio utilizando la regla de Ruffini con cada uno de los divisores de y con el polinomio .
si y solo si es divisor de .
Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado racies del polinomio , entonces existe un polinomio tal que
e intentariamos descomponer mas factorizando .
Ejemplo
Factorizemos el polinomio:
Como se puede sacar un factor común, eso es lo primero que hacemos:
A continuación factorizamos
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con los divisores de :
encontrando que 3 es una raiz de , es decir, , y que
Finalmente, factorizamos el polinomio
resolviendo la ecuación
cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
y, por tanto