Problemas de ángulos
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Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas y del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar y en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de , .
El ángulo entre dos rectas y cuyos vectores directores son, respectivamente, y , se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas y .
En la fórmula anterior denota el producto escalar de los vectores y .
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación y el plano de ecuación ).
Un vector director de la recta es el vector que multiplica al parametro en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director de la recta multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano por un vector perpendicular al plano .
Un vector perpendicular al plano lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de :
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano :
El producto vectorial de ambos vectores, y es
El ángulo que forman las rectas y es, por tanto
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Ángulo entre dos planos
El ángulo que forman dos planos y cuyos vectores normales son, respectivamente, y es igual al ángulo que forman y , que se puede hallar calculando el arcocoseno de
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre los planos de ecuaciones:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Sus vectores normales son, respectivamente:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
y
Por lo tanto, el ángulo que forman ambos planos es
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Ángulo entre una recta y un plano
El ángulo que forma una recta cuyo vector director es y un plano cuyo ángulo normal es es complementario al ángulo que forman y .
Por lo tanto, se tiene que
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre el plano de ecuació:
y la recta de ecuación:
Un vector director de es y un vector normal de es , por lo tanto:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]