Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Función derivada de la composición de funciones

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:39 12 ene 2007


\mathrm{f}
  en el punto   
x \, = \, a
,   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
, si existe, es el valor del limite:



\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  es un número real, la función   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x \, = \, a
. Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  no es un número real o el límite no existe, la función   
\mathrm{f}
  no es derivable en dicho punto.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, x^2 
  en   
x \, = \, 2
:



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
</pre>
<p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,



\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
\left(
</p>
<pre>  \, h \, + 4 \, \,
\right)
\, = \, 4
</pre>
<p>


%% }}} %% {{{ =tasas de variación

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   
y
, se puede ver como una función,   
\mathrm{f}
, del tiempo,   
x
; es decir:



y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   
9
  al instante   
13.4
  es:



\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9  \,
</p>
<pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</pre>
<p>


En general, la tasa de variación media de la función   
\mathrm{f}
  en   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
  se define como el cociente:



\frac{\mathrm{f} \left( \, b  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a  \,
</p>
<pre> \right)}{b \, - \, a}
</pre>
<p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  se obtiene haciendo tender   
b
  a   
a
  en la tasa de variación media de la función   
f
  en el intervalo   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  es



\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
.


NOTA: En el límite anterior   
b \, = \, a \, + \, h
.


%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales

Imagen:tablaDeDerivadas.png

%% }}} %% {{{ =función derivada

Si   
\mathrm{f}
  es una función derivable en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
\right)
\subset R
</pre>
<p> , la función derivada de   
\mathrm{f}
  es la que a cada   
x \in
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  le hace corresponder la derivada de   
\mathrm{f}
  en dicho punto. Esta función se designa por   
\mathrm{f}^\prime \left( \, x  \, \right)
.


Una función   
\mathrm{f}
  es derivable en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  si lo es en cada punto del intervalo.


Llamamos derivada de segundo orden de   
\mathrm{f}
  a la función derivada de   
\mathrm{f}^\prime 
. Esta función se denota por   
\mathrm{f}^{\prime \prime}
.



\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
  es la derivada tercera de   
\mathrm{f}
  y, en general,   
\mathrm{f}^{\left( \, n  \, \right)}
  es la derivada n-ésima de   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
:   
\mathrm{f}^{\left( \, n  \, \right)}
  es la función derivada de   
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
.


%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que cuando   
n \to \infty
,   
A_n \to A 
.


La recta que pasa por los puntos   
A
  y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función   
\mathrm{f}
. De esta forma, hay una secante para cada punto   
A_n
. Sea   
s_n
  la recta que pasa por   
A
  y por   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando   
n
  tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
A
,   
t
:



s_n \to t


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de   
t
  cuando   
n
  tiende a   
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
; es decir la pendiente de   
t
  es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


%% }}} %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones

Tabla de contenidos



Derivada de la suma


La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.


Derivada de la diferencia


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del producto


La derivada del producto de dos funciones,   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
, viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del cociente


La derivada del cociente   
\frac{f}{g}
  viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}


%% }}} %% {{{ =composición de funciones

El componer dos funciones   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
  consiste en aplicar   
g
  al resultado de calcular   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
, es decir:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]



x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
\left(  \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \right)


La derivada de   
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
  viene dada por la fórmula:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


resultado que se conoce como regla de la cadena.


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.