Función derivada de la composición de funciones
De Wikillerato
Revisión de 16:39 12 ene 2007
en el punto , , si existe, es el valor del limite:
.
Si es un número real, la función es derivable en . Si no es un número real o el límite no existe, la función no es derivable en dicho punto.
Ejemplo
Calculemos la derivada de en :
%% }}}
%% {{{ =tasas de variación
Tasa de variación media
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:
En este caso, la posición, , se puede ver como una función, , del tiempo, ; es decir:
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante al instante es:
En general, la tasa de variación media de la función en se define como el cociente:
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea de la función en el punto se obtiene haciendo tender a en la tasa de variación media de la función en el intervalo ; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función en el punto es
que es precisamente la derivada de la función en el punto .
NOTA: En el límite anterior .
%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
%% }}} %% {{{ =función derivada
Si es una función derivable en el intervalo , la función derivada de es la que a cada le hace corresponder la derivada de en dicho punto. Esta función se designa por .
Una función es derivable en el intervalo si lo es en cada punto del intervalo.
Llamamos derivada de segundo orden de a la función derivada de . Esta función se denota por .
es la derivada tercera de y, en general, es la derivada n-ésima de : es la función derivada de .
%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada
Consideremos la grafica de una función . Tomemos un punto en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos en la grafica de . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de y que cuando , .
La recta que pasa por los puntos y es una secante a la grafica de la función . De esta forma, hay una secante para cada punto . Sea la recta que pasa por y por .
Cuando tiende a , tiende a la tangente a la grafica de la función en el punto , :
Habria de esperar, pues, que la pendiente de tienda a la pendiente de cuando tiende a . Como la pendiente de es una tasa de variación media:
( abcisa de )
su limite cuando es una tasa de variación instantánea, la derivada de en ; es decir la pendiente de es la derivada de en .
%% }}} %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
Tabla de contenidos |
Derivada de la suma
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
Derivada de la diferencia
La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
Derivada del producto
La derivada del producto de dos funciones, y , viene dada por la fórmula:
Derivada del cociente
La derivada del cociente viene dada por la fórmula:
%% }}} %% {{{ =composición de funciones
El componer dos funciones y consiste en aplicar al resultado de calcular , es decir:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
La derivada de viene dada por la fórmula:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
resultado que se conoce como regla de la cadena.