Proporcionalidad directa
De Wikillerato
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Características generales
Consideramos que una variable puede adquirir los valores [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y otra variable y los valores [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
e
son directamente proporcionales si [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Teorema de Tales
Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón .
En nuestra figura vemos que la altura es la incógnita de esta igualdad: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], luego
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Aplicaciones del teorema de Tales
Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
División de un segmento en partes proporcionales
Para dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, trazamos una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazamos la recta DD’ . Trazamos paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ . Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C. Por el teorema de Tales, se cumplirá que AB/A’B’=BC/B’C’=CD/C’D’.
División de un segmento en partes iguales.
Para dividir un segmento AB dado en n partes iguales, trazamos una recta que pase por A. Situamos sobre ella n partes iguales, que numeramos. En este caso n=9. Dibujamos la recta 9B y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.
Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre AB son iguales.
Demostración del teorema de la bisectriz
La bisectriz del ángulo BAC de un triángulo ABC divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo. Consideramos el triángulo ABC y su bisectriz AD. Según el teorema: BD/DC=AB/AC.
Vamos a comprobarlo:
Trazamos por C una paralela a AD, que corta a la prolongación de AB en E.
Por el teorema de Tales, se cumple que: BD/DC=AB/AE.
Los ángulos BAD=AEC por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y DAC=ACE por ser alternos internos.
Como BAD=DAC tenemos que AEC=ACE, lo que indica que el triángulo ACE es isósceles con base EC, luego AC=AE.
Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que BD/DC=AB/AC.
El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior MAC.
Cuarta proporcional de tres segmentos
Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.
Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d
Tercera proporcional de dos segmentos
Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.
Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c
La proporción áurea
Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:
es el número de oro.
Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.
También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:
Vamos a comprobar que
Operamos:
Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:
Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:
Cuando el dato es a
Dibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongación de a, definiendo el segmento b. Se cumple que
Vamos a comprobarlo:
Como , pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:
Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:
En nuestro dibujo:
Lo aplicamos en la igualdad anterior:
luego:
Cuando el dato es a+b
Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud MN/2 y dibujamos el triángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos a y b.
Se verifica que:
Vamos a comprobarlo:
, ya que
y
Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:
, luego:
Los rectángulos de oro
Si el dato es el lado menor a usamos la primera construcción de segmentación áurea.
Si el dato es el lado mayor, a+b, utilizamos la segunda.
El teorema de Euclides
Ya vimos el teorema de Euclides, considerando su enunciados como teoremas de la altura y del cateto, en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.
Ahora vamos a ver su relación con la tercera proporcional. Si consideramos que:
vemos que el término intermedio, x, es media proporcional entre a y b, pues:
Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en Euclides, tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.
Aplicando el teorema de la altura
Dibujamos el segmento BC= a+b, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. Por el extremo común de los segmentos, H, dibujamos la perpendicular a BC que corta al arco en A. AH es la altura de ABC y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: a y b, como ya vimos en el capítulo 2.
Aplicando el teorema del cateto
Dibujamos el segmento BC=b y BH=a, superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC desde H corta al arco en A.
El cateto AB es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, a , y de la hipotenusa, b, como ya vimos en el capítulo 2.
Aplicaciones al cálculo gráfico
Para resolver estos problemas debemos definir la unidad que consideramos.
División de dos segmentos: c=a/b
Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=a/b, siendo la unidad el centímetro.
Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=b y MP=1cm (segmento unidad), como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.
Vemos que se cumple:
pues:
Producto de dos segmentos: c=ab
Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=ab, siendo la unidad el centímetro.
Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=b, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.
Vemos que se cumple:
pues:
Cuadrado de un segmento: b=a²
Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla , siendo la unidad el centímetro.
Esta construcción una variante de la del producto de un segmento.
Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=a, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.
Vemos que se cumple:
,pues:
Raíz cuadrada de un segmento: b=√a
Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla , siendo la unidad el centímetro
Aplicamos el teorema de la altura:
Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a.
Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A.
pues b es media proporcional de a y de la unidad.
Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura.
En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a.
Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H. Esta recta corta a la circunferencia en A.
La magnitud solución es
Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides
Aplicamos el teorema de la altura:
Dibujamos el segmento BH = 1cm (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene.
Trazamos la perpendicular a BH por H y llevamos la magnitud a sobre ella:
Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta definida por BH. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de AB con dicha recta. El arco corta a la recta en C.
, pues
es media proporcional de
y de la unidad.
Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde H y, con centro en B y radio a se traza el arco que la corta en A.
Dibujamos la circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta BH: trazamos la mediatriz de AB que corta a dicha recta en su centro.
BC es la magnitud solución:
Razón simple y razón doble de puntos alineados
En primer lugar definimos el concepto de segmentos orientados. Son positivos los segmentos cuya nomenclatura indica un sentido, siguiendo el orden alfabético y son negativos cuando indica el sentido contrario.
Por ejemplo: si AB es positivo, BA será negativo.
La razón simple y la razón doble operan con segmentos orientados.
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