Algunos problemas con triángulos
De Wikillerato
Línea 57: | Línea 57: | ||
==Problema VI== | ==Problema VI== | ||
- | Conocemos un punto P de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, su recta de Simson s y las perpendiculares desde P la los lados del triángulo. Dibujar ABC y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si O es el ortocentro, el punto medio de PO está sobre s y sobre dicha circunferencia. | + | Conocemos un punto <math>P</math> de la circunferencia circunscrita al triángulo <math>ABC</math>, su recta de '''Simson''' <math>s</math> y las perpendiculares desde <math>P</math> la los lados del triángulo. Dibujar <math>ABC</math> y su circunferencia de '''Feuerbach'''. Comprobar que si <math>O</math> es el ortocentro, el punto medio de <math>PO</math> está sobre s y sobre dicha circunferencia. |
- | Trazamos por X, Y y Z las perpendiculares a PX, PY y PZ respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo ABC. Hallamos su ortocentro O y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto M como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que P está en la circunscrita de ABC. | + | |
+ | Trazamos por <math>X, Y</math> y <math>Z</math> las perpendiculares a <math>PX, PY</math> y <math>PZ</math> respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo <math>ABC</math>. Hallamos su ortocentro <math>O</math> y su circunferencia de '''Feuerbach''' y comprobamos la posición del punto <math>M</math> como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que <math>P</math> está en la circunscrita de <math>ABC</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_38.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_38.gif]] | ||
Línea 64: | Línea 65: | ||
==Problema VII== | ==Problema VII== | ||
- | Conocemos el segmento CO determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC y su vértice B. Construir el triángulo. | + | Conocemos el segmento <math>CO</math> determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo <math>ABC</math> y su vértice <math>B</math>. Construir el triángulo. |
- | Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro C y radio CB. Sabemos que el vector CO es la suma de los vectores CA+CB+CC, siendo C el circuncentro. Realizamos la operación inversa hallando CD; igual y paralelo a BO, tal que CB +CD=CO. Por D trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que CA=CB=CC son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos A y C vértices de ABC. Comprobamos que el vector CD=CA+CC y por lo tanto CO=CA+CB+CC. | + | |
+ | Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro <math>C</math> y radio <math>CB</math>. Sabemos que el vector <math>CO</math> es la suma de los vectores <math>CA+CB+CC</math>, siendo <math>C</math> el circuncentro. | ||
+ | |||
+ | Realizamos la operación inversa hallando <math>CD</math>; igual y paralelo a <math>BO</math>, tal que <math>CB +CD=CO</math>. Por <math>D</math> trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que <math>CA=CB=CC</math> son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos <math>A</math> y <math>C</math> vértices de <math>ABC</math>. | ||
+ | |||
+ | Comprobamos que el vector <math>CD=CA+CC</math> y por lo tanto <math>CO=CA+CB+CC</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_39.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_39.gif]] | ||
Línea 71: | Línea 77: | ||
==Problema VIII== | ==Problema VIII== | ||
- | Conocemos el circuncentro, un vértice A la recta na que contiene a la mediana que pasa por A y la mediatriz ma. Construir el triángulo ABC. | + | Conocemos el circuncentro, un vértice <math>A</math> la recta na que contiene a la mediana que pasa por <math>A</math> y la mediatriz <math>ma</math>. Construir el triángulo <math>ABC</math>. |
- | Dibujamos la circunscrita con centro en C y radio CA. Por el punto de intersección de na con ma trazamos la perpendicular a ma, obteniendo los vértices B y C de la solución. | + | |
+ | Dibujamos la circunscrita con centro en <math>C</math> y radio <math>CA</math>. Por el punto de intersección de <math>na</math> con <math>ma</math> trazamos la perpendicular a <math>ma</math>, obteniendo los vértices <math>B</math> y <math>C</math> de la solución. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_40.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_40.gif]] | ||
Línea 78: | Línea 85: | ||
==Problema IX== | ==Problema IX== | ||
- | Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, el vértice A y la bisectriz bC . Construir el triángulo ABC. | + | Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo <math>ABC</math>, el vértice <math>A</math> y la bisectriz <math>bC</math> . Construir el triángulo <math>ABC</math>. |
- | La bisectriz bC se cortará con la mediatriz del lado AB opuesto al ángulo en C en un punto X de la circunscrita. La recta XC es la mediatriz de AB, mAB . El vértice B es simétrico de A respecto a dicha mediatriz. | + | |
- | Por otra parte la bisectriz bC corta a la circunscrita en el vértice C. | + | La bisectriz <math>bC</math> se cortará con la mediatriz del lado <math>AB</math> opuesto al ángulo en <math>C</math> en un punto <math>X</math> de la circunscrita. La recta <math>XC</math> es la mediatriz de <math>AB, mAB</math> . El vértice <math>B</math> es simétrico de <math>A</math> respecto a dicha mediatriz. |
+ | |||
+ | Por otra parte la bisectriz <math>bC</math> corta a la circunscrita en el vértice <math>C</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_41.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_41.gif]] | ||
Línea 86: | Línea 95: | ||
==Problema X== | ==Problema X== | ||
- | Conocemos la mediatriz mAB , la bisectriz bC y un punto A del triángulo ABC. Construir dicho triángulo. | + | Conocemos la mediatriz <math>mAB</math> , la bisectriz <math>bC</math> y un punto <math>A</math> del triángulo <math>ABC</math>. |
- | La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto P que pertenece a la circunscrita de ABC. Trazamos la mediatriz de AP y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto B es el simétrico de A respecto de mAB y el punto C la intersección de bC con la circunscrita. Dibujamos ABC. | + | |
+ | Construir dicho triángulo. | ||
+ | |||
+ | La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto <math>P</math> que pertenece a la circunscrita de <math>ABC</math>. Trazamos la mediatriz de <math>AP</math> y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto <math>B</math> es el simétrico de <math>A</math> respecto de <math>mAB</math> y el punto <math>C</math> la intersección de <math>bC</math> con la circunscrita. | ||
+ | |||
+ | Dibujamos <math>ABC</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_42.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_42.gif]] | ||
Línea 93: | Línea 107: | ||
==Problema XI== | ==Problema XI== | ||
- | Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo ABC. Construir el triángulo. | + | Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo <math>ABC</math>. Construir el triángulo. |
- | Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y | + | |
+ | Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son <math>ABC</math> y <math>A'B'C'</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_43.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_43.gif]] | ||
- | ==Problema XII== | + | ==Problema XII== |
- | Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo ABC. Construir el triángulo. | + | |
- | Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y | + | Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo <math>ABC</math>. Construir el triángulo. |
+ | |||
+ | Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son <math>ABC</math> y <math>A'B'C'</math>. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_44.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_44.gif]] | ||
Línea 106: | Línea 123: | ||
==Problema XIII== | ==Problema XIII== | ||
- | Dado un triángulo ABC, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler. | + | Dado un triángulo <math>ABC</math>, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler. |
+ | |||
En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach. | En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach. | ||
[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_45.gif]] | [[Imagen:DibujoTecnico_I-2_45.gif]] |
Revisión de 09:18 28 oct 2008
Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.
Tabla de contenidos |
Problema de Napoleón
Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.
Problema I
es la hipotenusa de un triángulo. es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en . Construir el triángulo .
El triángulo buscado es rectángulo, siendo . Si dibujamos el arco capaz de para y el de para el problema está resuelto. El punto es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema II
En un triángulo el ángulo , el lado y la suma de los lados son segmentos dados. Construir el triángulo .
Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento , pues . Señalamos el punto , pues . El punto estará en la circunferencia de centro y radio .
Dibujamos en el ángulo de . El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto . Dibujamos . El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.
Problema III
Conocemos el lado de un triángulo y sus alturas y . Construir el triángulo .
Dibujamos el lado y una recta paralela a a la distancia .
Trazamos un arco con radio y centro en y la tangente desde a dicho arco. El punto será la intersección de la paralela con la tangente.
Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema IV
Conocemos el lado de un triángulo, un vértice de su órtico y sabemos que el circuncentro dista una magnitud dada, , de . Construir el triángulo.
Hallamos la mediatriz de y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice buscado. Como es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre . Trazamos una perpendicular por y hallamos en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de .
Problema V
Conocemos el lado de un triángulo y sus medianas y . Construir el triángulo.
Trazamos la mediatriz de para hallar su punto medio .
Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en y radio trazamos un arco. Con centro en y radio trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud desde , así hallamos y trazamos el triángulo .
Problema VI
Conocemos un punto de la circunferencia circunscrita al triángulo , su recta de Simson y las perpendiculares desde la los lados del triángulo. Dibujar y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si es el ortocentro, el punto medio de está sobre s y sobre dicha circunferencia.
Trazamos por y las perpendiculares a y respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo . Hallamos su ortocentro y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que está en la circunscrita de .
Problema VII
Conocemos el segmento determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo y su vértice . Construir el triángulo.
Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro y radio . Sabemos que el vector es la suma de los vectores , siendo el circuncentro.
Realizamos la operación inversa hallando ; igual y paralelo a , tal que . Por trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos y vértices de .
Comprobamos que el vector y por lo tanto .
Problema VIII
Conocemos el circuncentro, un vértice la recta na que contiene a la mediana que pasa por y la mediatriz . Construir el triángulo .
Dibujamos la circunscrita con centro en y radio . Por el punto de intersección de con trazamos la perpendicular a , obteniendo los vértices y de la solución.
Problema IX
Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo , el vértice y la bisectriz . Construir el triángulo .
La bisectriz se cortará con la mediatriz del lado opuesto al ángulo en en un punto de la circunscrita. La recta es la mediatriz de . El vértice es simétrico de respecto a dicha mediatriz.
Por otra parte la bisectriz corta a la circunscrita en el vértice .
Problema X
Conocemos la mediatriz , la bisectriz y un punto del triángulo .
Construir dicho triángulo.
La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto que pertenece a la circunscrita de . Trazamos la mediatriz de y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto es el simétrico de respecto de y el punto la intersección de con la circunscrita.
Dibujamos .
Problema XI
Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo . Construir el triángulo.
Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son y .
Problema XII
Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo . Construir el triángulo.
Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son y .
Problema XIII
Dado un triángulo , construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.
En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.
Tweet