Algunos problemas con triángulos - Wikillerato Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Algunos problemas con triángulos

De Wikillerato

Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.

Tabla de contenidos

Problema de Napoleón

Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario ABC se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_32.gif

Problema I

AB \ es la hipotenusa del triángulo. X es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en C. Construir el triángulo ABC.

El triángulo buscado es rectángulo, siendo ACB=90^\circ. Si dibujamos el arco capaz de 90^\circ para AB \ y el de 45^\circ para AX \ el problema está resuelto. El punto C es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a ABC respecto de AB \ .

Imagen:DibujoTecnico_I-2_33.gif

Problema II

En un triángulo el ángulo ACB=90^\circ, el lado AB \ y la suma de los lados a+b son segmentos dados. Construir el triángulo ABC.

Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento A''A'= c+a+b, pues AB=c. Señalamos el punto B, pues A''B=AB. El punto A estará en la circunferencia de centro B y radio BA''.

Dibujamos en A' el ángulo de 45^\circ=90^\circ / 2. El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto A. Dibujamos ABC. El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_34.gif

Problema III

Conocemos el lado AB \ de un triángulo y sus alturas ha y hc. Construir el triángulo ABC.

Dibujamos el lado AB \ y una recta paralela a AB \ a la distancia hc.

Trazamos un arco con radio ha y centro en A y la tangente desde B a dicho arco. El punto C será la intersección de la paralela con la tangente.

Hay otra solución simétrica a ABC respecto de AB \ .

Imagen:DibujoTecnico_I-2_35.gif

Problema IV

Conocemos el lado AB \ de un triángulo, un vértice M de su órtico y sabemos que el circuncentro C dista una magnitud dada, CP, de AB \ . Construir el triángulo.

Hallamos la mediatriz de AB \ y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice C buscado. Como M es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre AB \ . Trazamos una perpendicular por M y hallamos C en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de AB \ .

Imagen:DibujoTecnico_I-2_36.gif

Problema V

Conocemos el lado AB \ de un triángulo y sus medianas ma y mc. Construir el triángulo.

Trazamos la mediatriz de AB \ para hallar su punto medio M.

Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en A y radio 2ma/3 trazamos un arco. Con centro en M y radio mc/3 trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud mc desde M, así hallamos C y trazamos el triángulo ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_37.gif

Problema VI

Conocemos un punto P de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, su recta de Simson s y las perpendiculares desde P la los lados del triángulo. Dibujar ABC y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si O \ es el ortocentro, el punto medio de PO está sobre s y sobre dicha circunferencia.

Trazamos por X, Y y Z las perpendiculares a PX, PY y PZ respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo ABC. Hallamos su ortocentro O \ y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto M como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que P está en la circunscrita de ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_38.gif

Problema VII

Conocemos el segmento CO determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC y su vértice B. Construir el triángulo.

Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro C y radio CB. Sabemos que el vector CO es la suma de los vectores CA+CB+CC, siendo C el circuncentro.

Realizamos la operación inversa hallando CD; igual y paralelo a BO, tal que CB +CD=CO. Por D trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que CA=CB=CC son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos A y C vértices de ABC.

Comprobamos que el vector CD=CA+CC y por lo tanto CO=CA+CB+CC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_39.gif

Problema VIII

Conocemos el circuncentro, un vértice A la recta na que contiene a la mediana que pasa por A y la mediatriz ma. Construir el triángulo ABC.

Dibujamos la circunscrita con centro en C y radio CA. Por el punto de intersección de na con ma trazamos la perpendicular a ma, obteniendo los vértices B y C de la solución.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_40.gif

Problema IX

Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, el vértice A y la bisectriz bC . Construir el triángulo ABC.

La bisectriz b_C se cortará con la mediatriz del lado AB \ opuesto al ángulo en C en un punto X de la circunscrita. La recta XC es la mediatriz de AB, m_{AB} . El vértice B es simétrico de A respecto a dicha mediatriz.

Por otra parte la bisectriz bC corta a la circunscrita en el vértice C.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_41.gif

Problema X

Conocemos la mediatriz m_{AB} , la bisectriz b_C y un punto A del triángulo ABC. Construir dicho triángulo.

La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto P que pertenece a la circunscrita de ABC. Trazamos la mediatriz de AP y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto B es el simétrico de A respecto de m_{AB} y el punto C la intersección de b_C con la circunscrita.

Dibujamos ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_42.gif

Problema XI

Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo ABC. Construir el triángulo.

Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A'B'C'.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_43.gif

Problema XII

Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo ABC. Construir el triángulo.

Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A'B'C'.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_44.gif

Problema XIII

Dado un triángulo ABC, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.

En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_45.gif

Enlaces externos

TRAZOIDE. Teoría y ejercicios resueltos sobre Dibujo Técnico
   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.