Algunos problemas con triángulos
De Wikillerato
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==Problema XIII== | ==Problema XIII== |
Revisión de 02:20 20 sep 2011
Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.
Tabla de contenidos |
Problema de Napoleón
Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.
Problema I
es la hipotenusa del triángulo.
es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en
. Construir el triángulo
.
El triángulo buscado es rectángulo, siendo . Si dibujamos el arco capaz de
para
y el de
para
el problema está resuelto. El punto
es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a
respecto de
.
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Problema V
Conocemos el lado de un triángulo y sus medianas
y
. Construir el triángulo.
Trazamos la mediatriz de para hallar su punto medio
.
Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en y radio
trazamos un arco. Con centro en
y radio
trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud
desde
, así hallamos
y trazamos el triángulo
.
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Problema VII
Conocemos el segmento determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo
y su vértice
. Construir el triángulo.
Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro y radio
. Sabemos que el vector
es la suma de los vectores
, siendo
el circuncentro.
Realizamos la operación inversa hallando ; igual y paralelo a
, tal que
. Por
trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que
son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos
y
vértices de
.
Comprobamos que el vector y por lo tanto
.
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Problema IX
Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo , el vértice
y la bisectriz
. Construir el triángulo
.
La bisectriz se cortará con la mediatriz del lado
opuesto al ángulo en
en un punto
de la circunscrita. La recta
es la mediatriz de
. El vértice
es simétrico de
respecto a dicha mediatriz.
Por otra parte la bisectriz corta a la circunscrita en el vértice
.
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Problema XI
Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo . Construir el triángulo.
Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son y
.
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Problema XIII
Dado un triángulo , construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.
En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.