Problemas de ángulos
De Wikillerato
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==Ángulo entre dos rectas== | ==Ángulo entre dos rectas== | ||
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</math>, | </math>, | ||
<math> | <math> | ||
- | \pi- \alpha | + | \pi - \alpha |
</math>. | </math>. | ||
Línea 84: | Línea 85: | ||
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} | \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} | ||
</math> | </math> | ||
- | denota el producto escalar de los vectores | + | denota el [[Producto escalar|producto escalar]] de los vectores |
<math> | <math> | ||
\mathbf{u} | \mathbf{u} | ||
Línea 168: | Línea 169: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
Podemos obtener un vector director | Podemos obtener un vector director | ||
Línea 177: | Línea 180: | ||
r | r | ||
</math> | </math> | ||
- | multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano | + | [[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano |
<math> | <math> | ||
\pi_1 | \pi_1 | ||
Línea 229: | Línea 232: | ||
</math> | </math> | ||
es | es | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
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<math> | <math> | ||
Línea 243: | Línea 249: | ||
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</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | donde | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{array}{ll} | ||
+ | \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
El ángulo que forman las rectas | El ángulo que forman las rectas | ||
Línea 318: | Línea 341: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \begin{array}{ | + | \begin{array}{ll} |
- | \mathbf{n}_1 & = | + | \mathbf{n}_1 & = \left( \, 2, \, -1, \, 1 \, \right) |
\\ | \\ | ||
- | \mathbf{n}_2 & = | + | \mathbf{n}_2 & = \left( \, -1, \, 2, \, -1 \, \right) |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Línea 352: | Línea 375: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
==Ángulo entre una recta y un plano== | ==Ángulo entre una recta y un plano== | ||
Línea 445: | Línea 470: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \cos \left( | + | \cos \left( \, \pi - \alpha \, \right) = \frac{\left( \, 1, \, 1, \, 1 \, |
\right)\cdot \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right)}{\left| \left( \, 1, \, 1, | \right)\cdot \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right)}{\left| \left( \, 1, \, 1, | ||
\, 1 \, \right) \right| \cdot \left| \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right) | \, 1 \, \right) \right| \cdot \left| \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right) |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas
y
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
y
en un mismo plano paralelo a ambas rectas.
Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser
coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
,
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
,
.
El ángulo entre dos rectas
y
cuyos vectores directores son, respectivamente,
y
,
se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
obtiene el ángulo que forman las retas
y
.
En la fórmula anterior
denota el producto escalar de los vectores
y
.
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
de ecuación
y el plano
de ecuación
).
Un vector director
de la recta
es el vector que multiplica al parametro
en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director
de la recta
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
.
Un vector
perpendicular al plano
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
:
De la misma forma obtenemos un vector
perpendicular al plano
:
El producto vectorial de ambos vectores,
y
es
donde
El ángulo que forman las rectas
y
es, por tanto
Ángulo entre dos planos
El ángulo que forman dos planos
y
cuyos vectores normales son, respectivamente,
y
es igual al ángulo que forman
y
, que se puede hallar calculando el arcocoseno de
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre los planos de ecuaciones:
Sus vectores normales son, respectivamente:
Así
Por lo tanto, el ángulo que forman ambos planos es
Ángulo entre una recta y un plano
El ángulo
que forma una recta
cuyo vector director es
y un plano
cuyo ángulo normal es
es complementario al ángulo que forman
y
.
Por lo tanto, se tiene que
Ejemplo
Calculemos el ángulo
entre el plano
de ecuación:
y la recta
de ecuación:
Un vector director de
es
y un vector normal de
es
,
por lo tanto: