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Discontinuidades

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(Diferencias entre revisiones)
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\frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
\frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
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0 & , & \qquad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
+
2 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
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La función &nbsp;
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no es continua en el punto &nbsp;
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&nbsp; no existe, al no existir el limite por la izquierda de &nbsp;
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&nbsp; una discontinuidad de segunda especie.
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión de 14:35 11 ene 2007

Una función es discontinua en un punto   x \, = \, x_0   si   \mathrm{f}   no es continua en dicho punto.


Una función   \mathrm{f}   tiene una discontinuidad evitable en un punto   x \, = \, x_0   cuando existe el limite de la función en dicho punto.


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1 \\ 2 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 1   porque   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0   mientras que   \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 2 , es decir:


\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)


Como   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   existe, la discontinuidad que   \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 1   es evitable.


Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto   x \, = \, x_0   si los limites laterales de   f   en   x \, = \, x_0   existen pero son distintos, es decir:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x \\ x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 1   porque   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   no existe, al ser ambos limites laterales distintos:


\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0


\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2


Como ambos limites laterales existen la discontinuidad que   \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 1   es de primera especie.


Una función   f   presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto   x \, = \, x_0   si no existe alguno de los limites laterales de   f   en dicho punto.


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x \\ 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 0   porque   \lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   no existe, al no existir el limite por la izquierda de   \mathrm{f}   cuando   x \to 0 :


\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Como este limite por la izquierda no existe  \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 1   una discontinuidad de segunda especie.


Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Discontinuidades.html"
   
 
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