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Discontinuidades

De Wikillerato


Tabla de contenidos

Definición


Una función es discontinua en   x \, = \, x_0    si    \mathrm{f}    NO es continua en  x \, = \, x_0 .


Tipos de discontinuidades


Las discontinuidades se clasifican en:

  1. 1. discontinuidades evitables,
  1. 2. discontinuidades de primera especie, y
  1. 3. discontinuidades de segunda especie.

Veamos, a continuación, cada uno de estos tipos de discontinuidad.


Discontinuidad evitable


Una función   
\mathrm{f}
  tiene una discontinuidad evitable en   
x \, = \, x_0
  cuando   
\mathrm{f}
  NO es continua en   
x \, = \, x_0
  pero existe el limite de la función 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a 
x_0
y este limite es finito.


Nota sobre terminologia


Cuando decimos que un limite existe queremos decir que el limite es un número real, 
\infty
o 
-\infty 
.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , &
   \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
   \\
   3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 2
  mientras que   
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right) \, = \, 3
, es decir:



\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right)


Como   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
  existe y es finito, la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en   
x \, = \, 1
  es evitable.


Discontinuidad de primera especie


Una función 
\mathrm{f}
presenta una discontinuidad de primera especie en   
x \, = \, x_0
  si ambos limites laterales de   
\mathrm{f}
  en   
x \, = \, x_0
  existen y si se verifica alguna de las siguientes condiciones:

  1. 1. o bien, dichos limites laterales son finitos pero distintos:



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


  1. 2. o bien, alguno de los dos limites laterales no es finito.


En el primer caso, cuando ambos limites laterales son distintos pero finitos, el valor absoluto de la diferencia entre ambos limites


\left| \, 
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, - \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \right|

se conoce como el salto de la discontinuidad.


Si la función 
\mathrm{f}
tiene una discontinuidad de primera especie en   
x = x_0
  pero dicha discontinuidad NO es de salto finito, entonces la gráfica de 
\mathrm{f}
tiene una asintota vertical de ecuación   
x = x_0
.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad  1 \ge x
   \\
   x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al ser ambos limites laterales distintos:



\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 0



\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 2


Como ambos limites laterales existen, pero son distintos, la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en   
x \, = \, 1
  es de primera especie.


El salto de la discontinuidad es   
2 - 0 = 2


Ejemplo


Gráfica de una función con una discontinuidad de primera especie de salto finito en   
x = 5
:


Imagen:primeraEspecie.png


Discontinuidad de segunda especie


Una función 
\mathrm{f}
presenta una discontinuidad de segunda especie en   
x \, = \, x_0
  si NO existe alguno de los limites laterales de 
\mathrm{f}
en 
x_0
.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \sqrt{x}


no es continua en   
x \, = \, 0
  porque   
\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al no existir el limite por la izquierda de   
\mathrm{f} 
  cuando   
x \to 0
:



\not \exists \lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Como este limite por la izquierda no existe, 
\mathrm{f} 
  tiene en   
x \, = \, 0
  una discontinuidad de segunda especie.


No existe


\lim_{x \to 0^-} \sqrt{x}

porque 
\sqrt{x} 
no esta definida para valores negativos de 
x
.


Ejemplo


Gráfica de una función con una discontinuidad de segunda especie en   
x = 5
:


Imagen:segundaEspecie.png

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