Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Concavidad y convexidad

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:28 11 abr 2011) (editar) (deshacer)
 
(27 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 15: Línea 15:
\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
</math>
</math>
-
&nbsp; es creciente en &nbsp;
+
&nbsp; es [[Funciones crecientes y decrecientes|creciente]] en &nbsp;
<math>
<math>
a
a
Línea 40: Línea 40:
<br/>
<br/>
-
==Concava==
+
==Concavidad==
<br/>
<br/>
Línea 56: Línea 56:
\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
</math>
</math>
-
&nbsp; es decreciente en &nbsp;
+
&nbsp; es [[Funciones crecientes y decrecientes|decreciente]] en &nbsp;
<math>
<math>
a
a
Línea 64: Línea 64:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''concava''''' en &nbsp;
+
&nbsp; es '''''cóncava''''' en &nbsp;
<math>
<math>
a
a
</math>.
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
&nbsp;
<br/>
<br/>
Línea 75: Línea 79:
</center>
</center>
-
<br/>
+
<br/>
==Puntos de inflexión==
==Puntos de inflexión==
Línea 81: Línea 85:
<br/>
<br/>
-
Un '''''punto de inflexion''''' es un punto donde la función pasa de ser concava a convexa o viceversa.
+
Un '''''punto de inflexion''''' es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
<br/>
<br/>
-
La funcion cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en
+
La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en
el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).
el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).
 +
 +
<br/>
 +
 +
&nbsp;
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
[[Imagen:figura3.png]]
+
[[Imagen:funcion3.png]]
</center>
</center>
Línea 152: Línea 160:
</math>
</math>
&nbsp; es covexa en todo su dominio ( R ).
&nbsp; es covexa en todo su dominio ( R ).
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo===
 +
 +
<br/>
 +
 +
La derivada segunda de la función
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^3
 +
</math>
 +
&nbsp; se anula en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, 0
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, 0
 +
</math>
 +
&nbsp; porque
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x
 +
</math>
 +
&nbsp; cambia de signo en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, 0
 +
</math>:
 +
 +
<br/>
 +
 +
si &nbsp;
 +
<math>
 +
x < 0
 +
</math>
 +
&nbsp; entonces &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es negativa ( &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es concava ) &nbsp; y si &nbsp;
 +
<math>
 +
x > 0
 +
</math>
 +
&nbsp; entonces &nbsp; &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es positiva ( &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es convexa ).
<br/>
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Convexidad


Si la derivada segunda de   \mathrm{f}   en   a   es positiva, entonces   \mathrm{f}^\prime   es creciente en   a   y   \mathrm{f}   es convexa en   a .


 


Imagen:convexa.gif


Concavidad


Si la derivada segunda de   \mathrm{f}   en   a   es negativa, entonces   \mathrm{f}^\prime   es decreciente en   a   y   \mathrm{f}   es cóncava en   a .


 


Imagen:concava.gif


Puntos de inflexión


Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.


La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).


 


Imagen:funcion3.png


Si   x_0   es un punto de inflexión de   \mathrm{f} , entonces   \mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0 , pero lo reciproco no es cierto en general:


\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0   no implica que   x_0   sea un punto de inflexión de   \mathrm{f} .


Ejemplo


La derivada segunda de la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^4   se anula en   x \, = \, 0   pero   \mathrm{f}   no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   x \, = \, 0 .   \mathrm{f}   es covexa en todo su dominio ( R ).


Ejemplo


La derivada segunda de la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^3   se anula en   x \, = \, 0 .


\mathrm{f}   tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   x \, = \, 0   porque \mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x   cambia de signo en   x \, = \, 0 :


si   x < 0   entonces   \mathrm{f}^{\prime \prime}   es negativa (   \mathrm{f}   es concava )   y si   x > 0   entonces     \mathrm{f}^{\prime \prime}   es positiva (   \mathrm{f}   es convexa ).


Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Concavidad_y_convexidad.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.