Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Aplicaciones del teorema de Tales

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Demostración del teorema de la bisectriz)
(Demostración del teorema de la bisectriz)
Línea 27: Línea 27:
Vamos a comprobarlo:
Vamos a comprobarlo:
-
 
+
CAAACAAA CAAAACAAAA OOOOUUU!!
 +
NANANANANANNANANANANA CACACACACACCACA ♥♥♥333♥♥33Z33ZSSA4DAS
Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
Línea 36: Línea 37:
Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
-
Como '''BAD = DAC''' tenemos que '''AEC = ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC = AE'''.
+
Como '''BAD = DAC''' tenemos que '''AEC = ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC = AE'''. ESO QEE??!
Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que
Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que
-
 
+
???!!! nO ENTIENDO
<math>\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}</math>
<math>\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}</math>

Revisión de 00:20 25 ene 2011

Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.

Tabla de contenidos

División de un segmento en partes proporcionales

Para dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, trazamos una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazamos la recta DD’ . Trazamos paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ .

Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C.

Por el teorema de Tales, se cumplirá que \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'}.

Imagen:DibujoTecnico I-5 3.gif

Justin Bieber es Gaaaay

Beibi Beibi Beibi Ooooou!! BEIBI BEIBI BEIBI OOOUUU!! JUSTIN BIEBER ES GAAAY GAAAY YO LO SEEE!!

Demostración del teorema de la bisectriz

La bisectriz del ángulo BAC de un triángulo ABC divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.

Consideramos el triángulo ABC y su bisectriz AD.

Según el teorema:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

Vamos a comprobarlo: CAAACAAA CAAAACAAAA OOOOUUU!! NANANANANANNANANANANA CACACACACACCACA ♥♥♥333♥♥33Z33ZSSA4DAS Trazamos por C una paralela a AD, que corta a la prolongación de AB en E.

Por el teorema de Tales, se cumple que:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE}

Los ángulos BAD=AEC por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y DAC=ACE por ser alternos internos.

Como BAD = DAC tenemos que AEC = ACE, lo que indica que el triángulo ACE es isósceles con base EC, luego AC = AE. ESO QEE??!

Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que ???!!! nO ENTIENDO \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}


Imagen:DibujoTecnico I-5 5.gif

El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior MAC.

Imagen:DibujoTecnico I-5 6.gif

Cuarta proporcional de tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d

Imagen:DibujoTecnico I-5 7.gif

Tercera proporcional de dos segmentos

Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.

Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c

Imagen:DibujoTecnico I-5 8.gif

La proporción áurea

Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}


\Phi = 1,618033... = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2} es el número de oro.

Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de \Phi en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.

También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:

\frac{d}{l} = \Phi

Vamos a comprobar que

\frac{a +b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1+ \sqrt{5})}{2}

Operamos:

(a+b) \cdot b = a^2

ab + b^2 = a^2

 \ a^2 - ab - b^2 = 0

Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:

a = \frac{b + \sqrt{(b^2 + 4b^2)} }{2} = b \frac{ (1 + \sqrt{5})}{2}

 \frac{a}{b} = \Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}

Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:

Cuando el dato es a

Dibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongación de a, definiendo el segmento b. Se cumple que \frac{a}{b} = \Phi

Vamos a comprobarlo:

Como MN = NP, pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:

Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:

MN = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = {\frac{a\sqrt{5}}{2}

En nuestro dibujo:

NP = \frac{a}{2} +b

Lo aplicamos en la igualdad anterior:

\frac{a}{2} + b = \frac{a \sqrt {5}}{2}

b = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt {5} -1}{2}

luego:

a = \frac{2b}{\sqrt {5} -1}

\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt {5} -1} =  \frac{2 (\sqrt {5} +1)}{(\sqrt {5} +1) (\sqrt {5} - 1)} = \frac{2 (1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} = \Phi

Imagen:DibujoTecnico I-5 9.gif

Cuando el dato es a+b

Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud MN/2 y dibujamos el triángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos a y b.

Se verifica que: \frac{a}{b} = \Phi

Vamos a comprobarlo:

MP = a + \frac{a+b}{2}, ya que

MQ =a y PQ = \frac{a+b}{2}

Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:

MP^2 = (a+b)^2 + \left (\frac{a+b}{2} \right )^2 = \frac{5 (a+b)^2} {4}, luego:

MP = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}

MP = a + \frac{a+b}{2} = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}

a = (a+b) \frac{\sqrt{5} -1}{2}

\frac{(a+b)}{a} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} =  \frac{2 (\sqrt{5}+1) }{ (\sqrt{5}+1) (\sqrt{5}-1)} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}= \Phi

Imagen:DibujoTecnico I-5 10.gif


Los rectángulos de oro

Si el dato es el lado menor a usamos la primera construcción de segmentación áurea.

Imagen:DibujoTecnico I-5 11.gif

Si el dato es el lado mayor, a+b, utilizamos la segunda.

Imagen:DibujoTecnico I-5 12.gif

Enlaces externos

TRAZOIDE. Teoría y ejercicios resueltos de PROPORCIONALIDAD en Dibujo Técnico
   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.