Discontinuidades

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Tipos de discontinuidades
3 Discontinuidad evitable
- 3.1 Nota sobre terminologia
4 Ejemplo
5 Discontinuidad de primera especie
- 5.1 Ejemplo
- 5.2 Ejemplo
6 Discontinuidad de segunda especie
- 6.1 Ejemplo
- 6.2 Ejemplo

Definición

Una función es discontinua en    si      NO es continua en .

Tipos de discontinuidades

Las discontinuidades se clasifican en:

1. discontinuidades evitables,

2. discontinuidades de primera especie, y

3. discontinuidades de segunda especie.

Veamos, a continuación, cada uno de estos tipos de discontinuidad.

Discontinuidad evitable

Una función $\mathrm{f}$ tiene una discontinuidad evitable en $x \, = \, x_0$ cuando $\mathrm{f}$ NO es continua en $x \, = \, x_0$ pero existe el limite de la función $\mathrm{f}$ cuando $x$ tiende a $x_0$ y este limite es finito.

Nota sobre terminologia

Cuando decimos que un limite existe queremos decir que el limite es un número real, $\infty$ o $-\infty$ .

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1 \\ 3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.$

no es continua en $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$ mientras que $\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3$ , es decir:

$\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)$

Como $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ existe y es finito, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en $x \, = \, 1$ es evitable.

Discontinuidad de primera especie

Una función $\mathrm{f}$ presenta una discontinuidad de primera especie en $x \, = \, x_0$ si ambos limites laterales de $\mathrm{f}$ en $x \, = \, x_0$ existen y si se verifica alguna de las siguientes condiciones:

1. o bien, dichos limites laterales son finitos pero distintos:

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

2. o bien, alguno de los dos limites laterales no es finito.

En el primer caso, cuando ambos limites laterales son distintos pero finitos, el valor absoluto de la diferencia entre ambos limites

$\left| \, \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, - \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \right|$

se conoce como el salto de la discontinuidad.

Si la función $\mathrm{f}$ tiene una discontinuidad de primera especie en $x = x_0$ pero dicha discontinuidad NO es de salto finito, entonces la gráfica de $\mathrm{f}$ tiene una asintota vertical de ecuación $x = x_0$ .

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x \\ x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.$

no es continua en $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al ser ambos limites laterales distintos:

$\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0$

$\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$

Como ambos limites laterales existen, pero son distintos, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en $x \, = \, 1$ es de primera especie.

El salto de la discontinuidad es $2 - 0 = 2$

Ejemplo

Gráfica de una función con una discontinuidad de primera especie de salto finito en $x = 5$ :

Discontinuidad de segunda especie

Una función $\mathrm{f}$ presenta una discontinuidad de segunda especie en $x \, = \, x_0$ si NO existe alguno de los limites laterales de $\mathrm{f}$ en $x_0$ .

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \sqrt{x}$

no es continua en $x \, = \, 0$ porque $\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al no existir el limite por la izquierda de $\mathrm{f}$ cuando $x \to 0$ :