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Matriz inversa
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Revisión de 16:20 28 abr 2010
La matriz inversa de una matriz cuadrada
de orden
es la matriz,
, de orden
que verifica:
donde
es la matriz identidad de orden
.
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Tabla de contenidos |
Cálculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
Mediante la definicion
Ejemplo
![A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-1fe0b90602bd956d6622d417fadb9a6d.png "A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
hacemos
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
como
![I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-83c4208e822a9057faf4bc22eb75b114.png "I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Operando:
![\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-65ac35f7477a5f157f8f4b5954474b3d.png "\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
![\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-d80915bcc5f5cebafc112b3692daef76.png "\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular
se calcular transformando la matriz
mediante operaciones
elementales por filas en la matriz
Operaciones elementales por filas en una matriz
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas
y
que designaremos por
2. Multiplicar la fila
por el numero
y sustituirla por el resultado; lo designamos por
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
3. Sumar la fila
con la fila
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
y sustituirla por el resultado; lo designamos por
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
4. Sumar las filas
y
, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila
o
. Lo designamos por
o
Véase también
Ejercicios resueltos
Producto e invertibilidad de matrices
