Algunos problemas con triángulos
De Wikillerato
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==Problema II== | ==Problema II== | ||
- | En un triángulo el ángulo <math>ACB=90^\circ</math>, el lado <math>AB</math> y la suma de los lados <math>a+b</math> son segmentos dados. Construir el triángulo <math>ABC</math>. | + | En un triángulo el ángulo <math>ACB=90^\circ</math>, el lado <math>AB \ </math> y la suma de los lados <math>a+b</math> son segmentos dados. Construir el triángulo <math>ABC</math>. |
- | Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento <math> | + | Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento <math>A''A'= c+a+b</math>, pues <math>AB=c</math>. Señalamos el punto <math>B</math>, pues <math>A''B=AB</math>. El punto <math>A</math> estará en la circunferencia de centro <math>B</math> y radio <math>BA''</math>. |
- | Dibujamos en <math> | + | Dibujamos en <math>A'</math> el ángulo de <math>45^\circ=90^\circ / 2</math>. El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto <math>A</math>. Dibujamos <math>ABC</math>. El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección. |
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==Problema III== | ==Problema III== | ||
- | Conocemos el lado <math>AB</math> de un triángulo y sus alturas <math>ha</math> y <math>hc</math>. Construir el triángulo <math>ABC</math>. | + | Conocemos el lado <math>AB \ </math> de un triángulo y sus alturas <math>ha</math> y <math>hc</math>. Construir el triángulo <math>ABC</math>. |
- | Dibujamos el lado <math>AB</math> y una recta paralela a <math>AB</math> a la distancia <math>hc</math>. | + | |
+ | Dibujamos el lado <math>AB \ </math> y una recta paralela a <math>AB \ </math> a la distancia <math>hc</math>. | ||
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Trazamos un arco con radio <math>ha</math> y centro en <math>A</math> y la tangente desde <math>B</math> a dicho arco. El punto <math>C</math> será la intersección de la paralela con la tangente. | Trazamos un arco con radio <math>ha</math> y centro en <math>A</math> y la tangente desde <math>B</math> a dicho arco. El punto <math>C</math> será la intersección de la paralela con la tangente. | ||
- | Hay otra solución simétrica a <math>ABC</math> respecto de <math>AB</math>. | + | Hay otra solución simétrica a <math>ABC</math> respecto de <math>AB \ </math>. |
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==Problema IV== | ==Problema IV== | ||
- | Conocemos el lado <math>AB</math> de un triángulo, un vértice <math>M</math> de su órtico y sabemos que el circuncentro <math>C</math> dista una magnitud dada, <math>CP</math>, de <math>AB</math>. Construir el triángulo. | + | Conocemos el lado <math>AB \ </math> de un triángulo, un vértice <math>M</math> de su órtico y sabemos que el circuncentro <math>C</math> dista una magnitud dada, <math>CP</math>, de <math>AB \ </math>. Construir el triángulo. |
- | Hallamos la mediatriz de <math>AB</math> y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice <math>C</math> buscado. Como <math>M</math> es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre <math>AB</math>. Trazamos una perpendicular por <math>M</math> y hallamos <math>C</math> en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de <math>AB</math>. | + | Hallamos la mediatriz de <math>AB \ </math> y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice <math>C</math> buscado. Como <math>M</math> es un vértice del '''órtico''', es el pie de la altura sobre <math>AB \ </math>. Trazamos una perpendicular por <math>M</math> y hallamos <math>C</math> en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de <math>AB \ </math>. |
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==Problema V== | ==Problema V== | ||
- | Conocemos el lado <math>AB</math> de un triángulo y sus medianas <math>ma</math> y <math>mc</math>. Construir el triángulo. | + | Conocemos el lado <math>AB \ </math> de un triángulo y sus medianas <math>ma</math> y <math>mc</math>. Construir el triángulo. |
- | Trazamos la mediatriz de <math>AB</math> para hallar su punto medio <math>M</math>. | + | Trazamos la mediatriz de <math>AB \ </math> para hallar su punto medio <math>M</math>. |
- | Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en <math>A</math> y radio <math>2ma/3</math> trazamos un arco. Con centro en <math>M</math> y radio <math>mc/3</math> trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud <math>mc</math> desde <math>M</math>, | + | Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en <math>A</math> y radio <math>2ma/3</math> trazamos un arco. Con centro en <math>M</math> y radio <math>mc/3</math> trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud <math>mc</math> desde <math>M</math>, así hallamos <math>C</math> y trazamos el triángulo <math>ABC</math>. |
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Revisión de 09:06 28 oct 2008
Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.
Tabla de contenidos |
Problema de Napoleón
Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.
Problema I
es la hipotenusa de un triángulo. es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en . Construir el triángulo .
El triángulo buscado es rectángulo, siendo . Si dibujamos el arco capaz de para y el de para el problema está resuelto. El punto es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema II
En un triángulo el ángulo , el lado y la suma de los lados son segmentos dados. Construir el triángulo .
Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento , pues . Señalamos el punto , pues . El punto estará en la circunferencia de centro y radio .
Dibujamos en el ángulo de . El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto . Dibujamos . El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.
Problema III
Conocemos el lado de un triángulo y sus alturas y . Construir el triángulo .
Dibujamos el lado y una recta paralela a a la distancia .
Trazamos un arco con radio y centro en y la tangente desde a dicho arco. El punto será la intersección de la paralela con la tangente.
Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema IV
Conocemos el lado de un triángulo, un vértice de su órtico y sabemos que el circuncentro dista una magnitud dada, , de . Construir el triángulo.
Hallamos la mediatriz de y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice buscado. Como es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre . Trazamos una perpendicular por y hallamos en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de .
Problema V
Conocemos el lado de un triángulo y sus medianas y . Construir el triángulo.
Trazamos la mediatriz de para hallar su punto medio .
Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en y radio trazamos un arco. Con centro en y radio trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud desde , así hallamos y trazamos el triángulo .
Problema VI
Conocemos un punto P de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, su recta de Simson s y las perpendiculares desde P la los lados del triángulo. Dibujar ABC y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si O es el ortocentro, el punto medio de PO está sobre s y sobre dicha circunferencia. Trazamos por X, Y y Z las perpendiculares a PX, PY y PZ respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo ABC. Hallamos su ortocentro O y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto M como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que P está en la circunscrita de ABC.
Problema VII
Conocemos el segmento CO determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC y su vértice B. Construir el triángulo. Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro C y radio CB. Sabemos que el vector CO es la suma de los vectores CA+CB+CC, siendo C el circuncentro. Realizamos la operación inversa hallando CD; igual y paralelo a BO, tal que CB +CD=CO. Por D trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que CA=CB=CC son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos A y C vértices de ABC. Comprobamos que el vector CD=CA+CC y por lo tanto CO=CA+CB+CC.
Problema VIII
Conocemos el circuncentro, un vértice A la recta na que contiene a la mediana que pasa por A y la mediatriz ma. Construir el triángulo ABC. Dibujamos la circunscrita con centro en C y radio CA. Por el punto de intersección de na con ma trazamos la perpendicular a ma, obteniendo los vértices B y C de la solución.
Problema IX
Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, el vértice A y la bisectriz bC . Construir el triángulo ABC. La bisectriz bC se cortará con la mediatriz del lado AB opuesto al ángulo en C en un punto X de la circunscrita. La recta XC es la mediatriz de AB, mAB . El vértice B es simétrico de A respecto a dicha mediatriz. Por otra parte la bisectriz bC corta a la circunscrita en el vértice C.
Problema X
Conocemos la mediatriz mAB , la bisectriz bC y un punto A del triángulo ABC. Construir dicho triángulo. La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto P que pertenece a la circunscrita de ABC. Trazamos la mediatriz de AP y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto B es el simétrico de A respecto de mAB y el punto C la intersección de bC con la circunscrita. Dibujamos ABC.
Problema XI
Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo ABC. Construir el triángulo. Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A’B’C’.
Problema XII
Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo ABC. Construir el triángulo. Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A’B’C’.
Problema XIII
Dado un triángulo ABC, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler. En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.
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