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Sucesos Independientes

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Definición


Decimos que dos sucesos   
A
  y   
B
  son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, 
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{o} \qquad
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A \, \left| \, B \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A \, 
</pre>
<p>\right)


o lo que es lo mismo:



A \quad \mathrm{y} \quad B \quad \makebox{son independientes} \quad \Leftrightarrow \quad
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)


Ejemplos


Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española,
sean todas copas.


Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_1 \, \cap C_2  \, \cap C_3 \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_1 \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right.
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right.
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{P}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, C_1 \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_2 \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_3 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40}
</pre>
<p>


donde   
C_i
  denota el suceso salir copas en la extracción número   
i
.


Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.


En este caso, los sucesos   
C_1, \, C_2 \quad \mathrm{y} \quad C_3
  no son independientes.



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_1 \, \cap C_2  \, \cap C_3 \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_1 \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right.
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right.
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} \cdot \frac{8}{38}
</pre>
<p>


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