Razones trigonométricas

De Wikillerato

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Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.

Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente forma:

El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:

$\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}$

El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto adyacente (contiguo) y la hipotenusa. Su inversa es la secante:

$\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto adyacente}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto adyacente}}$

La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto adyacente. Su inversa es la contangente:

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto adyacente}}$

$\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto adyacente}}{\makebox{cateto opuesto}}$

Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo $\alpha$ que forma el eje $X$ con el radio de una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniometrica.

En este caso

$\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad </p><p>$

$\mathrm{cos} \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}$

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}$

Aplicando el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo de la figura de arriba cuya hipotenusa es el segmento $\overline{OP}$ , deducimos que:

$x^2 \, + \, y^2 \, = \, 1$

Es decir

Siendo esta ultima igualdad cierta para cualquier angulo $\alpha$ . Esta igualdad es muy importante ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas. A partir de ella se pueden derivar otras. Por ejemplo, si dividimos la igualdad anterior por $\mathrm{cos}^2 \alpha$ se obtiene:

$1 \, + \, \mathrm{tg}^2 \alpha \, = \, \mathrm{sec}^2 \alpha$

El angulo $\alpha$ aumenta si movemos el punto $P$ en la circunferencia de manera que el radio $\overline{OP}$ gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.

Si $P$ esta a la derecha del eje $Y,$ entonces $x > 0.$ En caso contrario, se tiene que $x < 0.$ Si $P$ esta por encima del eje $X,$ entonces $y > 0.$ En caso contrario, se tiene que $y < 0.$

Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El signo de las razones de un angulo $\alpha$ depende de en que cuadrante este situado $P$ . Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente: