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Puntos y rectas notables de los triángulos

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo ABC son:

las mediatrices, m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}, que se cortan en un punto llamado circuncentro C ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, n_A  ,n_B , n_C, que se cortan en el baricentro, B, centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, b_A  ,b_B , b_C, que se cortan en el incentro I, centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, h_A  ,h_B , h_C, que se cortan en el ortocentro, O \ .

Imagen:13Triangulos.gif

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.


Imagen:DibujoTecnico_I-2_13.gif


En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_14.gif


En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_15.gif

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_16.gif

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo ABC obtenemos el triángulo MPN \ que tiene el mismo baricentro que ABC y sus medianas miden la mitad que las de ABC.

Además los lados de MPN \ miden la mitad que los lados de ABC y la superficie de MPN \ es la cuarta parte de la superficie de ABC, pues podemos comprobar que al trazar MPN \ se han definido otros tres triángulos iguales: BMP, PCN y AMN.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_17.gif

Consideramos una mediana AP. Si B es el baricentro se cumple que AB = 2BP.

Se cumple también que si se dibuja BY, la mediana de la mediana AP, ésta corta al lado AC siendo: ZC=2AZ.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_18.gif

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_19.gif

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_20.gif

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_21.gif

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo ABC se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro I pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a ABC.

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde I a uno de ellos, por ejemplo al lado c, obteniendo Tc y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que ATc=ATb, \ BTc=BTa y CTa=CTb.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_22.gif

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Suma de vectores

En un triángulo ABC, cuyo circuncentro es C y su ortocentro es O \ , se verifica que el vector CO es igual a la suma de los vectores CA \ + \ CC \ + \ CB.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_23.gif

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo HaHbHc que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo ABC se llama triángulo órtico.

Las bisectrices del triángulo órtico de ABC están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.

La circunferencia circunscrita al órtico de ABC se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de ABC, \ M, \ N y P y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de ABC, \ X, \ Y y Z.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_24.gif

Sea HaHbHc es el triángulo órtico de un triángulo desconocido ABC. Al hallar ABC vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.

Dibujamos las bisectrices de ABC, que coinciden con las alturas de ABC. Trazamos por Ha, Hb y Hc perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, ABC. Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro O \ y la circunferencia de Feuerbach.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_25.gif

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de ABC, como ABD, cuyo ortocentro coincide con el vértice C. Las otras soluciones serían ACD, con ortocentro en B y BCD, con ortocentro en A.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_26.gif

Recta de Simson

Sea un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de ABC desde un punto arbitrario P de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos P con el ortocentro de ABC el punto medio M del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_27.gif

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, X.

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: BC = BO/2.

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de CO, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_28.gif

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo ABC. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_29.gif

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo ABC.

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices A, B \ y \ C.

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_30_thumb.gif

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo ABC es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ABC”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_31_thumb.gif

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