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Puntos de corte con los ejes de coordenadas

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Introducción

La intersección de uno o mas conjuntos de puntos es el conjunto de puntos comunes, es decir, el conjunto de puntos que se encuentran en todos y cada uno de dichos conjuntos.


Es habitual encontrarse con que un conjunto de puntos se determina dando una propiedad que cumplen todos los puntos de dicho conjunto y solo ellos.


Por ejemplo, el eje X es el siguiente conjunto de puntos:


\left\{
\left( \, x, \, y \, \right) \, \left| \, y = 0 \, \right. 
</p>
<pre>\right\}    
</pre>
<p>

En este caso,   
y = 0
  es la ecuación del eje X. El satisfacer esta igualdad es la propiedad que verifican todos los puntos del eje X y solo ellos.


Si queremos encontrar la intersección de varios conjuntos de puntos, cada uno de ellos caracterizados por una serie de ecuaciones, lo que haremos es juntar todas esas ecuaciones y formar un sistema de ecuaciones que resolveremos para encontrar los puntos comunes a todos esos conjuntos.


Ejemplo


Supongamos que queremos encontrar la intersección de la circunferencia de ecuación


x^2 + y^2 = 4

con la recta


y = 3x + 1

Para encontrar la intersección de ambas conjuntos de puntos ( la circunferencia y la recta ) juntamos las ecuaciones de ambos conjuntos para formar un sistema de ecuaciones


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   y = 3x + 1
   \\
   x^2 + y^2 = 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y lo resolvemos.


Puntos de corte con el eje X


Asi, para hallar los puntos de corte del eje X con la grafica de la función 
\mathrm{f}
, lo que haremos sera formar un sistema de ecuaciones con la ecuación del eje X y la ecuación de la gráfica del eje X


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   y = 0
   \\
   y = \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y resolver este sistema de ecuaciones con dos incognitas mediante igualación, es decir, mediante la resolución de la ecuación:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

Esta ecuación puede tener cero, una, varias o infinitas soluciones. Cada solución va a ser la coordenada 
x
( abcisa ) de un punto de corte con el eje X. La coordena 
y 
( ordenada ) de dicho punto es 0.


Ejemplo


Busquemos los puntos de corte de la grafica de la función 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
con el eje X.


Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   y = 0
   \\
   y = \cos \left( \, x \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Por igualación, se tiene que <center> 
\cos \left( \, x \, \right) = 0

Esta ecuación tiene infintas soluciones


\cos \left(  \, x \,  \right) = 0  \Rightarrow x =  \frac{\pi}{2} + n  \cdot \pi
  con   
n \in \mathbb{Z}

Por lo tanto, los puntos de corte de la gráfica de la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
  con el eje X son


\ldots, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} -3 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>, \, 
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} -2 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} - 1 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\pi}{2} + 3 \cdot \pi, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\ldots


Punto de corte con el eje Y


Para hallar los puntos de corte del eje Y con la grafica de la función 
\mathrm{f}
procedemos de una manera análoga.


Formamos un sistema de ecuaciones con la ecuación del eje X y la ecuaci\'on de la gr\'afica del eje Y (   
x = 0 
  ) y resolveremos dicho sistema:


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   x = 0
   \\
   y = \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Este sistema de ecuaciones con dos incognitas se resuelve por sustitución y su solución es unica:


\left( \, x, \, y \, \right) = \left( \, 0, \, \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)


Ejemplo


Busquemos el punto de corte de la grafica de la función 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \corrects \left( \, x \, \right)
con el eje Y.


Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   x = 0
   \\
   y = \cos \left( \, x \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Por sustitución, se tiene que


y = \cos \left( \, 0 \, \right) = 1

Por lo tanto, el punto de corte de la gráfica de la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
  con el eje Y es el punto   
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
.

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