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Propiedades de la integral definida

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Propiedades


La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:



\int_a^b 
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \,
 \mathrm{g} \left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{d}x
\, = \,
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \,
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


La integral del producto de un número real    k    por una función es igual al producto de    k    por la integral de dicha función:



\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
</p>
<pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>


En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y


\int_a^b  \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
</p>
<pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>

Si hacemos   
a = b
  en la igualdad anterior se tiene que


</p>
<pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
- \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que


\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0

para cualquier número real 
a
.


Dados tres números reales cualesquiera,   
a, \, b, \, c
  se tiene que:


\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x +
\int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right)
  la función 
\mathrm{f}
es mayor o igual que la función  
\mathrm{g}
  entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0


Analogamente, si   
0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right)
  la función 
\mathrm{f}
es mayor que la función  
\mathrm{g}
  entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0


Analogamente, si   
0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 1



\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
\int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + 
\int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 2



\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
15 \cdot \int_1^-  \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 3



\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0


Ejemplo 4



\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
-\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 5


Como   
x  > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
,   se cumple que


\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 6


Como   
x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)
,   se cumple que


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0

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