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Lógica proposicional

De Wikillerato

Una de las razones que motivó la aparición de la lógica matemática, fue evitar la ambigüedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en un cálculo, según el modo de operar de las matemáticas. Simplificar o simbolizar las oraciones o juicios para poder operar con ellas, así surge el lenguaje formal.


Tabla de contenidos

Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o r, o s.

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos.

Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( \bar{ } ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, \bar{ p} , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los funtores más importantes son:

[\land   ] Conjuntor , «y» en el lenguaje natural.
[\lor   ] Disyuntor , «o».
[\to   ] Condicional, «si... entonces».
[\leftrightarrow   ] Bicondiconal, «si y sólo si... entonces».
[ \underline{\lor   }] Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a la otra.


El negador además de ser un funtor monádico —es decir que afecta a una variable—, puede ser poliádico, cuando afecta a más de una variable o a una expresión entera.

Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no sólo palabras o nombres:

Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal:

  1. La conjunción: [ p  \land  q ] «Juan juega y Pedro estudia».
  2. La disyunción: [ p  \lor  q ] «Llueve o nieva».
  3. El condicional: [ p \to  q ] «Si estudias entonces aprendes».
  4. El bicondicional: [ p \leftrightarrow q ] «Si y sólo si tienes dieciocho años puedes votar».
  5. La disyunción exclusiva: [ p  \underline{\lor} q ] «O te quedas o te vas».
  6. La negación: [ \bar{p} ] «Manolo no juega limpio».

A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas:

[\overline{p \lor q}   ] «Es falso que estudies o trabajes».

Valores de verdad

En la gramática estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden ser verdaderas o falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo que “hace sol”, esa oración es falsa. En cambio la lógica considera que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla de valores de verdad.

Una proposición [ p ] puede ser indistintamente verdadera o falsa; cuando es verdadera, le damos valor 1, cuando es falsa, le adjudicamos el valor 0. Según esto la variable p, puede tener los siguientes valores:

p
1100
1010


Cuando p siempre tiene valor 1, hablamos de tautología de p. Cuando siempre es falsa, contradicción de p. Si p es primero verdadera y luego falsa, afirmación de p. Cuando es primero falsa y luego verdadera, negación de p.


Si consideramos los valores de dos variables conjuntamente, las posibilidades aumentan según el gráfico siguiente:


p\, q
1  1  1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
1  0   1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0  1  1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0  0  1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0


Las dos primeras columnas indican los cuatro valores posibles que pueden tener dos proposiciones simples, si se consideran sus valores a la vez: las dos verdaderas, la primera verdadera y la segunda falsa, la primera falsa y la segunda verdadera y las dos falsas.

Las restantes dieciséis columnas representan los valores de verdad o falsedad, de cada una de las dieciséis proposiciones de orden dos.

Entre estas proposiciones, hay algunas que tienen especial interés en lógica, según los valores que adoptan las variables cuando están afectadas por funtores:

Proposición conjuntiva

p\landq
111
100
001
000

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos.

Se lee p y q.

Proposición disyuntiva inclusiva

p\lorq
111
110
011
000

La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando p vale 0 y q vale 0.

Se lee p ó q.

Proposición disyuntiva exclusiva

p\underline{\lor}q
101
110
011
000

La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es falsa en los demás casos.

Se lee p excluye a q.

Proposición condicional

p\toq
111
100
011
010

El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando p vale 1 y q vale 0.

Se lee p condiciona a q.

Proposición bicondicional

p\leftrightarrowq
111
100
001
010

El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos.

Se lee p bicondiciona a q.

Proposición negativa

p\bar p
10
01

La negación - que se lee no p -, cambia el valor de la variable que se niega: sólo es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera.

Proposiciones atómicas y moleculares. Las tablas de verdad ó tablas veritativas

En Química se aprende que los cuerpos están formados de átomos que se asocian formando moléculas; cuando una proposición consta de una sola variable la llamamos proposición atómica, y, cuando consta de muchas variables, proposición molecular.

Para hallar el valor de verdad de una proposición molecular, hay que descubrir el funtor capital, aquel que liga más, es decir que une o liga toda la expresión.

Un mecanismo sencillo para conocer el valor del funtor capital en una proposición molecular es el llamado método de las tablas de verdad.


Sirve de ayuda para localizar al funtor capital, la utilización de paréntesis y corchetes:

[ (p  \to  q)  \land p ]  \to  q

En esta expresión se ve con claridad que el funtor capital es el condicional, que une todo el corchete con q.

El modus operandi es ir encontrando el valor de verdad primero de los funtores que ligan menos, hasta llegar en último lugar al funtor capital.

[ (p \to q) \land p] \to q
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0

En esta expresión, se comienza hallando el valor del condicional en el primer paréntesis puesto que une a la p con la q; después la conjunción que une el resultado del condicional con la p dentro del corchete; y por último el condicional que une el resultado recién hallado de la conjunción con la última variable q.

Cuando en la tabla aparece en todos los lugares de funtor capital el valor 1, la expresión es una tautología o identidad. Si en todos los lugares el valor es 0, es una contradicción. Finalmente cuando en el funtor capital encontramos valores de 1 y de 0, la proposición es indeterminada.

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla veritativa:

(p \to q)         (\bar p \lor q)
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0


Según se observa en este ejemplo, el resultado del condicional en el primer paréntesis, es el mismo que el resultado de la disyunción en el segundo paréntesis. Estas proposiciones son por tanto, equivalentes; esto quiere decir que pueden ser sustituidas una por la otra.

Dada cualquier expresión, se puede sustituir por otra equivalente, esta afirmación se conoce con el nombre de principio o regla de sustitución.

Leyes lógicas

Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional. Por ejemplo:

p \lor \bar p
1 1 0
0 1 1

Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.

Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La T significa tautología y la C contradicción):


Idempotencia

( p  \lor   p )  \leftrightarrow  p

Asociativa

[ (  p  \lor  q  )  \lor   r  ]  \leftrightarrow p  \lor   q  \lor   r

[ (  p  \land  q  )  \land   r  ]  \leftrightarrow p  \land   q  \land   r

Conmutativa

(  p  \lor  q  )  \leftrightarrow  (q  \lor   p)

(  p  \land  q  )  \leftrightarrow  (q  \land   p)

Identidad

(  p  \lor  T )  \leftrightarrow  T

(  p  \land  T )  \leftrightarrow  p

(  p  \lor  C )  \leftrightarrow  p

(  p  \land  C)  \leftrightarrow  C

Absorción

p \lor ( q \land p ) \leftrightarrow p \,

p \land ( q \lor p ) \leftrightarrow p \,

Distributiva

p \lor ( q \land r ) \leftrightarrow  ( p\lor q) \land ( p\lor r)

p \land ( q \lor r ) \leftrightarrow    ( p\land q)  \lor ( p\land r)

De Morgan

 ( \overline{ p  \land  q } )  \leftrightarrow  (\bar p  \lor   \bar q)

 ( \overline{ p  \lor  q } )  \leftrightarrow  (\bar p  \land   \bar q)

Doble negación

\bar{\bar p} \leftrightarrow p

\bar C\leftrightarrow T

\bar T\leftrightarrow C


Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.

La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos:

Regla de sustitución

1. ( p \leftrightarrow  q  )  \leftrightarrow  [ ( p  \to   q  ) \land   (  q  \to   p  ) ]

2. ( p \to q  )  \leftrightarrow   ( \bar p  \lor   q  )

    ( p \to q  )  \leftrightarrow   ( \overline{p  \land  \bar q } )

Ejercicios

Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:

En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después los valores del otro paréntesis; finalmente hallamos los valores del condicional relacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es una tautología.


Ejercicio 1

(p \land \bar q) \to (q \to p)
1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0

Es una tautología.

Ejercicio 2

(p \land q) \lor (p \land \bar q)
1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1

Ejercicio 3

(p \leftrightarrow  q) \lor (p \to \bar q)
1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0

Es una tautología.

Ejercicio 4

(p \land q) \lor (\bar p \land \bar q)
1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1

El razonamiento o inferencia

Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.

Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:

"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".

La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.


En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo [\vdash ] que se lee "luego".

El razonamiento anterior se simboliza:


1.p \to    q ( primera premisa )
2.p ( segunda premisa )
\vdash q(conclusión)

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:


"Todos los burros vuelan".
"Platero es un burro".
Luego "Platero vuela".

El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal.

Otro ejemplo descabellado puede ser:

"La tierra está formada de plastilina".
"Mi brazo forma parte de la tierra".
Luego "Mi brazo está formado de plastilina".


El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.

Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos formalmente, por ejemplo:

"Quien no se presente a examen, suspenderá".
"Pepa no se ha presentado".
Luego "Pepa suspende".

En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.

Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas.

Ejemplos de razonamiento:


1. p\to q     2.p\to q   3. p\to q   4. p\to q   
pq\bar p\bar q
\vdash q \vdash p\vdash \bar q\vdash \bar p


También pueden escribirse: p\to q, p \vdash  q; p\to q, q +\vdash p etc.

¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje natural?

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.

Modus operandi:

1. Se hallan las tablas de cada una de las premisas y de la conclusión.
2. Si se da el caso de que teniendo valor verdadero las premisas, la conclusión es falsa, la inferencia es inválida.
3. Si la conclusión es verdadera al igual que las premisas, el razonamiento es válido. Por ejemplo:

1.p \lor    q ( primera premisa )
2.\bar p ( segunda premisa )
\vdash q(conclusión)


p\lor q\bar pq
101
101
111
010

La columna de la izquierda expresa los valores de la disyunción de p\lor q; los del centro la segunda premisa que es \bar p , y la última columna los valores de la conclusión q.

Vemos que no hay ningún caso en que siendo verdaderas ambas premisas, la conclusión sea falsa. Luego el razonamiento es válido.

Si razonamos así:

1.(p \lor \bar q) \to p ( primera premisa )
2.(p \to q) ( segunda premisa )
\vdash p \land q(conclusión)


p q \bar q p\lor \bar q p\lor \bar q\to p p \to q p \land q
1 1 0 1 1 11
1011 1 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0

En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos premisas, la conclusión es falsa, luego el razonamiento es inválido. De este modo podemos comprobar la validez de muchos razonamientos.


Algunos razonamientos válidos, son leyes lógicas como las que anteriormente hemos expuesto, y sirven también para calcular la validez de otros razonamientos.

Los más usados son:


Modus ponendo ponens o modus ponens

p\to q, p \vdash q

Modus tollendo ponens

p\lor q, \bar p \vdash q

p\lor q, \bar q \vdash p

Modus tollendo tollens

p\to q, \bar q \vdash \bar p

Ley conjuntiva

p, q \vdash p\land q

Ley simplificativa

p\land q  \vdash  p

p\land q  \vdash  q

Ley aditiva

p \vdash p \lor q

Silogismo condicional o ley transitiva

p\to q, q \to r \vdash p\to r

Silogismo condicional, es aquel en que la premisa mayor es una proposición condicional y la menor una categórica. Por ejemplo:

Si Pedro es mayor de edad, puede emanciparse;
Pedro es mayor de edad,
Luego Pedro puede emanciparse.

Recordando la regla de verdad de las proposiciones condicionales, sucederá en este silogismo que de la verdad de la condición se seguirá la del condicionado. Efectivamente, un silogismo condicional no es más que una proposición condicional más desarrollada. En ambas operaciones mentales la conexión entre el antecedente y el consecuente debe ser necesaria. Las conclusiones deben venir por causalidad lógica.

Ley de transposición

p\to q  \vdash  \bar q \to \bar p

\bar q\to \bar p  \vdash  p \to q

Ley de traslación

(p \land q) \to r  \vdash  p \to (q \to  r)

p \to( q \land r)  \vdash  (p \land q) \to r

Dilema constructivo

 (p \to q) \land (r \to  s) ,  p \lor r \vdash q\lor s

Dilema destructivo

 (p \to q) \land (r \to  s) ,  \bar q \lor \bar s \vdash \bar p\lor \bar r


Para conocer la validez o invalidez de un razonamiento, existen otros dos procedimientos más rápidos que las tablas de verdad: la prueba formal de invalidez y la prueba formal de validez.

Prueba formal de invalidez

Se trata de una demostración indirecta por reducción al absurdo. Si la conclusión tiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento es inválido.


Modus operandi:

Se da valor 0 a la conclusión y se intenta que todas las premisas adquieran valor de verdad - operando como hacíamos en las tablas veritativas -. Si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, el razonamiento es inválido.

Por ejemplo:

1.p \to    q
2. q\lor r
3. r\leftrightarrow s
\vdash s

Operamos así:

1. p\to q
1/0 1 1
2.q\lor r
1 1 0
3. r\leftrightarrow s
1 1 0
\vdash s
    0

El razonamiento es inválido, ya que hemos podido dar valor 1 a las premisas, siendo falsa la conclusión.

Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

1. (p\lor q) \to  p
0 1 1 1 0
2. q \land  p
1 0 0
\vdash q \to  p
1 0 0

Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar la invalidez del razonamiento.

Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesario además realizar la prueba formal de validez.

Prueba formal de validez

Consiste en obtener la conclusión, a partir de las premisas utilizando las leyes de la lógica y los razonamientos válidos expuestos más arriba.

Modus operandi:

Se numeran las premisas, y también cada uno de los pasos que se van dando, indicando a la derecha - en lenguaje natural - la ley lógica que se aplica, hasta alcanzar la conclusión.

Ejemplo 1

Hallar la siguiente conclusión \vdash q \to  p, a partir de las premisas:

1.   ( p  \lor  q )  \to   p

2.  q  \lor   p


Solución:

3.   (\overline{p\lor q} ) \lor    p\, Sustitución del condicional en 1.

4.   ( \bar p \land \bar q) \lor p\, Ley de Morgan en 3.

5.   \bar q \lor p \, Ley simplificativa en 4.

6.   q \to  p\, Sustitución del condicional en 5.

En este último paso, alcanzamos la conclusión: q \to  p, luego el razonamiento es válido.

Ejemplo 2

Demostrar la siguiente conclusión \vdash r \to  \bar q, a partir de las premisas:

1.   \overline{ r  \land  s}

2.  q  \to   s


Solución:

3.   \bar r\lor \bar s} \, Ley de Morgan en 1.

4.   r \to \bar s\, Sustitución condicional en 3.

5.   \bar s \to \bar q \, Ley de transposición en 2.

6.   r \to \bar q\, Silogismo condicional o ley de transitividad entre 4 y 5.

En este último paso, alcanzamos la conclusión: \vdash r \to  \bar q, luego el razonamiento es válido.


Ejemplo 3

Traducir al lenguaje formal y demostrar por el método de validez formal el siguiente razonamiento, tomado libremente de Los hermanos Karamazov de Fedor Dostoievsky:

1. Si Dios no existe, todo estaría permitido.
2. Si Dios no existe, no habría normas morales.
3. Es así que hay normas morales.
Luego Dios existe.

En primer lugar transformamos el lenguaje natural en lenguaje formal:

1. Si Dios no existe, todo estaría permitido: \bar p \to s

2. Si Dios no existe, no habría normas morales: \bar p \to \bar r

3. Hay normas morales: r

Luego Dios existe: \vdash p


1.  \bar p \to s

2.  \bar p \to \bar r

3.  r

 \vdash p

Solución:

Intentamos demostrar la conclusión \vdash p, a partir de las tres premisas:


4. p   Modus tollendo tollens entre la premisa 2 y la 3.


Ejemplo 4

Demostrar la siguiente conclusión \vdash \bar p \to   r, a partir de las premisas:

1.   p  \lor \bar  s

2.  \bar r  \to   s


Solución:

3.   \bar p\to \bar s} \, Sustitución del condicional en 1.

4.   \bar s \to r\, Transposición en 2.

5.   \bar p\to r\, Ley de transitividad en 3 y 4.


En este último paso, alcanzamos la conclusión: \vdash \bar p \to  r, luego el razonamiento es válido.

Ejemplo 5

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:

No es verdad que estudias y trabajas.
Si quieres conseguir dinero entonces trabajas.
Luego si estudias entonces no consigues dinero.

1. No es verdad que estudias y trabajas: \overline { p \land q}

2. Si quieres conseguir dinero entonces trabajas: r \to q

Luego si estudias entonces no consigues dinero: \vdash p \to \bar r


1.  \overline {p \land q}

2.  r \to q

  \vdash p \to \bar r

Solución:


3.   \bar p \lor \bar q Ley de Morgan en 1.

4.   p \to \bar q Sustitución del condicional en 3.

5.   \bar q \to \bar r Transposición en 2.

6.   p \to  \bar r Ley de transitividad entre 4 y 5.

En este último paso, alcanzamos la conclusión: \vdash p \to \bar r, luego el razonamiento es válido.

Ejemplo 6

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:

O me traes a casa, o no voy a la fiesta.
Si no llueve entonces voy a la fiesta.
Luego si no me traes a casa llueve.

1. O me traes a casa, o no voy a la fiesta: p \lor \bar q}

2. Si no llueve entonces voy a la fiesta: \bar r \to q

Luego si no me traes a casa llueve: \vdash \bar p \to  r


1.   p \lor \bar q}

2.   \bar r \to q

 \vdash \bar p \to  r

Solución:


3. \bar p \to \bar q Sustitución del condicional en 1.

4. \bar q \to r Ley de transposición en 2.

5. \bar p \to  r Ley transitiva en 3 y 4.

En este último paso, alcanzamos la conclusión: \vdash \bar p \to  r, luego el razonamiento es válido.


En el momento en el que no pueda llegar a la conclusión de un razonamiento con las premisas dadas, tiene que resolver el ejercicio por reducción al absurdo. De esta forma (forma directa) pueden resolverse todos lo ejercicios de lógica proposicional pero siempre que le pidan que llegue a una conclusión debe hacerlo de forma indirecta antes, cuando esté seguro de que no se puede hacer pase a hacerlo de forma directa. Para hacerlo de esta forma, tiene que sacar la negación de la conclusión del razonamiento y utilizarlo como una premisa más.

NOTA: cuando se está resolviendo un ejercicio por reducción, no tiene que llegar a la conclusión, solamente buscar una contradicción en el ejercicio.

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