Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Definición de integral definida. Área bajo la grafica de una función

De Wikillerato

Sea 
\mathrm{f}
una función continua en el intervalo   
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   tal que 
\mathrm{f}
toma solo valores NO negativos en dicho intervalo   ( 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)
).


Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = a
  y   
x = b
,   la grafica de la función 
\mathrm{f}
y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:


Imagen:areaBajoGrafica.png


Este area es el valor de la integral entre 
a
y 
b
de 
\mathrm{f}
y la denotamos por:


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).


Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).


Dividimos el intervalo   
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  en 
n 
intervalos de la misma longitud   
\left(
</p>
<pre>\, \frac{b - a}{n} \,
</pre>
<p>\right)
. Los limites de estos intervalos mas pequeños son:


x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b

donde  
x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i
.


Para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
  contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo   
\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)
  y cuya altura es de longitud   
\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)
.


Haciendo esto para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
,   terminamos con 
n 
rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de 
\mathrm{f}
que queremos calcular.


En general, cuanto mayor sea 
n
mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
.


Así, cuando  
n = 2
:


Imagen:areaRectangulos2.png


uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   
n = 4
:


Imagen:areaRectangulos4.png


Llamemos   
S_n
  a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:


S_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}


Es decir,   
S_n
  tiende a  
</p>
<pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>   cuando el número de rectangulos, 
n 
, tiende a infinito.


En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función 
\mathrm{f}
toma valores NO negativos en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right)
.   ¿Que pasaría si 
\mathrm{f}
tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = a
  y   
x = b
,   la grafica de la función 
\mathrm{f}
y el eje X?


Imagen:areaSobreGrafica.png


Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso   
\mathrm{f} \ge 0 
  seria aplicable al caso   
0 \ge \mathrm{f} 
  , pero ahora:


S_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

y el area sobre la grafica de la función es


-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

siendo la integral definida   
\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}
  NO positiva porque   
0 \ge \mathrm{f} \left(  \, x \, \right), \, \forall x \in \left(  \, a, \, b \,
\right)
.

Cargando feed...
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.