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Curvas cónicas

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Características generales

Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución.

Propiedades útiles en la resolución de problemas

1 - Si se une el simétrico de un foco respecto de una tangente con el punto de tangencia en esa recta esta el otro foco.

2 - La distancia desde el simétrico de un foco respecto de una tangente hasta el otro foco es el el mayor.

3 - La suma de las distancias desde un punto de la curva hasta los focos es igual al eje mayor.

Elipses

La elipse es la curva que se obtiene al seccionar una superficie cónica mediante un plano oblicuo que corta a una sola rama. Es una curva cerrada y tiene dos ejes de simetría. Sus puntos cumplen todos ellos la propiedad de que sumadas sus distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos y situados sobre su eje mayor, da una distancia constante e igual a la longitud de dicho eje. Imagen:36Curvasconicas.gif

Parábolas

La parábola es la sección de un cono de revolución con un plano que corta sólo una de sus ramas y que es paralelo a una de las generatrices.

Imagen:37Curvasconicas.gif

Hipérbolas

La hipérbola es la sección de un cono de revolución con un plano que corta sus dos ramas y que es paralelo al eje del cono. Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyos semiejes son iguales. Imagen:38Curvasconicas.gif

Rectas tangentes a las cónicas

La recta t tangente a una cónica en un punto T de la misma es bisectriz del ángulo FTF', siendo F y F' los focos de la curva. El punto SF, simétrico del foco F respecto t está sobre la circunferencia f', focal de F' . Del mismo modo, SF' está sobre f, focal de F.

Imagen:39Curvasconicas.gif

Intersecciones de rectas y cónicas

Los puntos P y Q, intersección de la recta r con una cónica, son los centros de las circunferencias que pasan por uno de los focos y son tangentes a la focal del otro foco. En la figura vemos que P es centro de dos circunferencias: la que pasa por F y es tangente en T' a la focal de F' y la que pasa por F' y es tangente en T a la focal de F. Sucede otro tanto con Q.

Imagen:40Curvasconicas.gif



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