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Varianza

De Wikillerato

La varianza de una variable aleatoria X es una medida de su dispersión. Sea \mu = E[x], la definición formal de la varianza es:


Var[X] = \sigma^{2}(X) = E[(X- \mu)^2]


Existe una formalización alternativa que en muchos casos puede facilitar los cálculos. Esta se deriva desde esta primera de la siguiente manera:


Var(X) & = E[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\
& = E[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\
& = E( X ^ 2) - 2\mu E(X) + \mu ^ 2 \\
& = E( X ^ 2) - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\
& = {E} ( X ^ 2) - \mu ^ 2



Caso discreto

En caso que X sea una variable aleatoria discreta con valores x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} y sus probabilidades estén representadas por la función de probabilidad p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n}), la se calcula como:

Var(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2

donde

\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i .



Caso continuo

Si la variable aleatoria X es una variable aleatoria continua con función de densidad f(x)

Var(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,

donde

\mu = \int x \, f(x) \, dx\ = E[X]

y las integrales están definidas sobre el rango de X.


Propiedades de la varianza

Algunas propiedades de la varianza son:

  • V(X) \geq 0 \,\!
  • V(aX + b) = a^2 V(X) \,\! siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es decir, V(b) = 0 \,\!
  • V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) \,\!, donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
  • V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) \,\!, donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.

Ejemplo

Dado perfecto

Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidad igual a 1/6. El valor esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5. Por lo tanto, su varianza es:

\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92\,.

   
 
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