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Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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[[Imagen:gauss.jpg|frame|¡Este matematico aleman fue un GENIO! Uno de los matematicos mas
 
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importantes de todos los tiempos.]]
 
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El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
 
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Para ello tomamos la [[Sistemas de ecuaciones lineales|matriz ampliada]] del
 
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sistema y mediante las [[Matriz inversa#Operaciones elementales por filas en una matriz|operaciones elementales]]
 
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por filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
 
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inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil
 
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de resolver.
 
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==Ejemplo==
 
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La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
 
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<center>
<center>
-
<math>
+
[[Image:sistemas.gif|Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales]]
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
-
\\
+
-
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
+
-
\\
+
-
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
es:
+
Un sistema de ecuaciones es '''''compatible''''' cuando tiene solución.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Un sistema de ecuaciones es '''''compatible determinado''''' cuando tiene solución única.
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
-
~~1 & ~~1 & -1
+
-
\\
+
-
~~1 & -1 & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
~~1
+
-
\\
+
-
-1
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
+
Un sistema de ecuaciones es '''''compatible indeterminado''''' cuando tiene infinitas
 +
soluciones.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Un sistema de ecuaciones es '''''incompatible''''' cuando no tiene solución.
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
-
~~0 & ~~0 & -2
+
-
\\
+
-
~~0 & -2 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos
+
Un sistema de ecuaciones es '''''homogéneo''''' cuando todos sus terminos independientes
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son cero.
 +
<br>
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<br/>
+
==Ejercicios Resueltos==
-
<center>
+
<br>
-
<math>
+
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=51 Sistema de ecuaciones con parámetro (I)]
-
\left(
+
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
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~~0 & -2 & -2
+
-
\\
+
-
~~0 & ~~0 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<br/>
+
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=52 Sistema de ecuaciones con parámetro (II)]
-
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
+
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=55 Sistema de ecuaciones con parámetro (III)]
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
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x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
-
\\
+
-
-2y \, - \, 2z & = & -4
+
-
\\
+
-
-2z & = & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
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<br/>
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-
 
+
-
que es equivalente al inicial.
+
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<br/>
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+
-
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener &nbsp;
+
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<math>
+
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z
+
-
</math>
+
-
&nbsp;:
+
-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
z \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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<br/>
+
-
En la primera y segunda ecuación, sustituimos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
z
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por la solucion de la tercera ecuación &nbsp; ( &nbsp;
+
-
<math>
+
-
1 \to z
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ), para obtener:
+
-
 
+
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<br/>
+
-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
+
-
\\
+
-
-2y \, - \, 2 & = & -4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
+
-
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, &nbsp;
+
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<math>
+
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y
+
-
</math>
+
-
. Que resolvemos para obtener &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
. &nbsp; Sustituimos, en la primera ecuación, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por 1 &nbsp; ( &nbsp;
+
-
<math>
+
-
1 \to y
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ). Esto nos da una ecuación en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
&nbsp;:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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<br/>
+
-
 
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que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
+
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<br/>
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-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1
+
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</math>
+
-
</center>
+
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+
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<br/>
+
 +
<br>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales


Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución.


Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando tiene solución única.


Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.


Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solución.


Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus terminos independientes son cero.

Ejercicios Resueltos


Sistema de ecuaciones con parámetro (I)

Sistema de ecuaciones con parámetro (II)

Sistema de ecuaciones con parámetro (III)


Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Tipos_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html"
   
 
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