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Teorema de Rouche-Fröbenius

De Wikillerato

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Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en 1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!
Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en 1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!

Enunciado

Un sistema de   
m
  ecuaciones lineales con   
n
  incógnitas es compatible (tiene solución) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.



Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:

  1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el numero de incógnitas.
  2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al numero de incognitas.

En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.


Ejemplo:sistemas homogeneos

En un sistema de ecuaciones homogeneo, la columna   
B
  de los terminos independientes es una nula, de manera que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius, que un sistema homogeneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogeneo, siempre podemos obtener una solución particular -llamada solución trivial- igualando todas las incognitas a 0.


Un sistema homogeneo es compatible indeterminado cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es cero. Si este determinante no es cero el sistema homogeneo es

compatible determinado.    
 
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