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Teorema de Rouche-Fröbenius
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Enunciado
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ecuaciones lineales con
incógnitas es compatible (tiene solución) si, y sólo si, el
Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:
- Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el numero de incógnitas.
- Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al numero de incognitas.
En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.
Ejemplo:sistemas homogeneos
En un sistema de ecuaciones homogeneo, la matriz
de los terminos independientes es una matriz nula, de manera que el
rango de la
matriz de los coeficientes y el de la
matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius,
que un sistema homogeneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogeneo, siempre
podemos obtener una solución particular igualando todas las incognitas a 0.
Un sistema homogeneo es compatible indeterminado cuando el determinante de la matriz de
los coeficientes es cero. Si este determinante no es cero el sistema homogeneo es
