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Teorema de Bayes

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Enunciado


Sean   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   sucesos incompatibles, tales que siempre ocurre uno de ellos y la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea   
B
  un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
.


Entonces las probabilidades   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   vienen dadas por la expresión:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Demostración


Por definición de probabilidad condicionada



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)


despejando   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] , se tiene:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


La probabilidad   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urna:   
U_1
  con tres bolas rojas y 5 negras,   
U_2
  con dos bolas rojas y una negra y   
U_3
  con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   
U_1
?


Llamamos   
R
  al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


   
 
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