Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Teorema de Bayes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:54 7 oct 2011) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 81.38.134.225 (Talk); a la última edición de Laura.2mdc)
 
(21 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
__TOC__
__TOC__
-
==Definicion==
+
==Enunciado==
-
<br/>
+
{{teorema|1=Sean &nbsp;
-
 
+
-
Llamamos '''''probabilidad condicionada''''' del suceso &nbsp;
+
<math>
<math>
-
B
+
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
</math>
</math>
-
&nbsp; respecto del suceso &nbsp;
+
&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
B
</math>
</math>
-
, y lo denotamos por &nbsp;
+
&nbsp; un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \, \right.
+
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
 +
\right)
 +
</math> Entonces las probabilidades &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; al cociente
+
&nbsp; vienen dadas por la expresión:
<br/>
<br/>
Línea 28: Línea 32:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
-
\, = \,
+
\, = \, \frac
-
\frac
+
{
{
-
\mathrm{P}
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A \, \cap \, B \,
+
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
\right)
\right)
}
}
{
{
-
\mathrm{P} \left( \, A \, \right)
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \, \ldots \, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_n \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
 +
\right)
}
}
</math>
</math>
-
</center>
+
</center>|2=[[Bayes]]}}
-
<br/>
 
-
==Ejemplo==
+
 
 +
==Demostración==
<br/>
<br/>
-
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los
+
Por definición de probabilidad condicionada
-
dados haya salido un tres?
+
-
 
+
-
Sean los sucesos &nbsp;
+
<br/>
<br/>
 +
<center>
<math>
<math>
-
A
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \cap \, B \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; = "la suma de los puntos es siete" y
+
</center>
<br/>
<br/>
 +
despejando &nbsp;
<math>
<math>
-
B
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; = "en alguno de los dados ha salido un tres"
+
, se tiene:
<br/>
<br/>
-
El suceso &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
B \, \left| \, A \, \right.
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
 +
\right)
 +
\, = \, \frac
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \,
 +
\right)
 +
}
</math>
</math>
-
&nbsp; es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación
+
</center>
-
ocurre en las parejas de resultados &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La probabilidad &nbsp;
<math>
<math>
 +
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 3, \, 4 \,
+
\, B \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \, \ldots \, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_n \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Ejemplo==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Tenemos tres urnas: &nbsp;
 +
<math>
 +
U_1
 +
</math>
 +
&nbsp; con tres bolas rojas y cinco negras, &nbsp;
 +
<math>
 +
U_2
 +
</math>
 +
&nbsp; con dos bolas rojas y una negra y &nbsp;
 +
<math>
 +
U_3
 +
</math>
 +
&nbsp; con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
 +
bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
U_1
 +
</math>
 +
?
 +
 +
<br/>
 +
 +
Llamamos &nbsp;
 +
<math>
 +
R
 +
</math>
 +
&nbsp; al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 4, \, 3 \,
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
-
. Por tanto,
+
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
<br/>
<br/>
Línea 96: Línea 246:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
-
\, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
+
\, = \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\, = \, \frac
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_3 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_3 \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\, = \, \frac
 +
{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
 +
}
 +
{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
 +
}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 104: Línea 316:
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Enunciado

Sean   
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, 
  sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   
B
  un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
Entonces las probabilidades   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
  vienen dadas por la expresión:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}





Demostración


Por definición de probabilidad condicionada



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)


despejando   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
, se tiene:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, B \,
 \right)
</pre>
<p>}


La probabilidad   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a



</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   
U_1
  con tres bolas rojas y cinco negras,   
U_2
  con dos bolas rojas y una negra y   
U_3
  con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   
U_1
?


Llamamos   
R
  al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \,



\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, U_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, U_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, U_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 \right)
     \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, U_3 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_3 \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
}



\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
</pre>
<p>}


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.