Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Teorema de Bayes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 189.149.133.56 (Talk); a la última edición de Laura.2mdc)
(Enunciado)
Línea 75: Línea 75:
</math>
</math>
</center>|2=[[Bayes]]}}
</center>|2=[[Bayes]]}}
-
 
-
 
==Demostración==
==Demostración==

Revisión de 01:40 12 jun 2010

Tabla de contenidos


Enunciado

Sean   
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, 
  sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   
B
  un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
Entonces las probabilidades   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
  vienen dadas por la expresión:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}




Demostración


Por definición de probabilidad condicionada



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)


despejando   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
, se tiene:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, B \,
 \right)
</pre>
<p>}


La probabilidad   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a



</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   
U_1
  con tres bolas rojas y cinco negras,   
U_2
  con dos bolas rojas y una negra y   
U_3
  con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   
U_1
?


Llamamos   
R
  al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \,



\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, U_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, U_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, U_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 \right)
     \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, U_3 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, R \, \left| \, U_3 \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
}



\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
</pre>
<p>}


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.