Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

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Sistema generador

Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad que cualquier vector del espacio vectorial es combinación de los vectores del sistema generador. independientes tal que cual

Ejemplo

En $R^2$ , los vectores

$\vec{\mathbf{v}}_1 \, = \, \left( <pre> \, \frac{1}{2}, \, 0 \, </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad \vec{\mathbf{v}}_2 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, \frac{1}{3} </pre> \right)$

forman un sistema generador ya que cualquier vector $\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ en $R^2$ se puede poner como combinación lineal de [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

$\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right) \, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2$

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] </center>

y un vector $\vec{\mathbf{v}}$ , el vector $\vec{\mathbf{v}}$ se puede escribir de la siguiente forma:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Los numeros $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n$ reciben el nombre de coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ .

Así, el vector $\vec{\mathbf{v}} = \left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right)$ expresado en la base $B \, = \, \left\{ <pre> \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \, </pre> \right\}$ , siendo $\vec{\mathbf{u}}_1 = \left( <pre> \, 1, \, 2 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{u}}_2 = \left( <pre> \, 2, \, 1 \, </pre> \right)$ , es:

$\left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right) = \alpha_1 \cdot \left( <pre> \, 1, \, 2 \, \right) \, + \, \alpha_2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 2, \, 1 \, \right) \, = \, \left( \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \, \right) </pre> $

de donde:

$\left. <pre> \begin{array}[c]{rcl} \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 & = & 10 \\ 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 & = & 2 \end{array} </pre> \right\} \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6$

Las coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ son -2 y 6.

En      cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En      cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.