Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

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Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes tal que cualquier vector del espacio vectorial se puede
expresar como combinación lineal de los vectores de la base.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.

Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinacion lineal de los vectores de la base.

Dada una base

$B \, = \, \left\{ <pre> \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{u}}_n </pre> \right\}$

y un vector $\vec{\mathbf{v}}$ , el vector $\vec{\mathbf{v}}$ se puede escribir de la siguiente forma:

$\vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{u}}_n$

Los numeros $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n$ reciben el nombre de coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ .

Así, el vector $\vec{\mathbf{v}} = \left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right)$ expresado en la base $B \, = \, \left\{ <pre> \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \, </pre> \right\}$ , siendo $\vec{\mathbf{u}}_1 = \left( <pre> \, 1, \, 2 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{u}}_2 = \left( <pre> \, 2, \, 1 \, </pre> \right)$ , es:

$\left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right) = \alpha_1 \cdot \left( <pre> \, 1, \, 2 \, \right) \, + \, \alpha_2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 2, \, 1 \, \right) \, = \, \left( \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \, \right) </pre> $

de donde:

$\left. <pre> \begin{array}[c]{rcl} \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 & = & 10 \\ 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 & = & 2 \end{array} </pre> \right\} \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6$

Las coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ son -2 y 6.

En      cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En      cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.