Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

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Tabla de contenidos

1 Sistema generador
- 1.1 Ejemplo

Sistema generador

Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.

Ejemplo

En $R^2$ , los vectores

$\vec{\mathbf{v}}_1 \, = \, \left( <pre> \, \frac{1}{2}, \, 0 \, </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad \vec{\mathbf{v}}_2 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, \frac{1}{3} </pre> \right)$

forman un sistema generador ya que cualquier vector $\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ en $R^2$ se puede poner como combinación lineal de $\vec{\mathbf{v}}_1 ~$ y $\vec{\mathbf{v}}_2 ~$ :

$\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right) \, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2$

  \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \,

\right\} </math> , siendo $\vec{\mathbf{u}}_1 = \left( <pre> \, 1, \, 2 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{u}}_2 = \left( <pre> \, 2, \, 1 \, </pre> \right)$ , es:

$\left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right) = \alpha_1 \cdot \left( <pre> \, 1, \, 2 \, \right) \, + \, \alpha_2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 2, \, 1 \, \right) \, = \, \left( \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \, \right) </pre> $

de donde:

$\left. <pre> \begin{array}[c]{rcl} \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 & = & 10 \\ 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 & = & 2 \end{array} </pre> \right\} \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6$

Las coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ son -2 y 6.

En      cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En      cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.