Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial
De Wikillerato
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- | Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes tal que cualquier vector del espacio vectorial se puede | + | ==Sistema generador== |
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+ | tienen la propiedad que cualquier vector del espacio vectorial es combinación de los | ||
+ | vectores del sistema generador. independientes tal que cual | ||
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+ | forman un sistema generador ya que cualquier vector | ||
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+ | \, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 | ||
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+ | Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente | ||
+ | independientes tal que cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base. | ||
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\vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot | \vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot | ||
- | \vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, | + | \vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, a0_n \cdot \vec{\mathbf{u}}_n |
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Revisión de 02:14 29 dic 2006
Sistema generador
Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad que cualquier vector del espacio vectorial es combinación de los vectores del sistema generador. independientes tal que cual
Ejemplo
En , los vectores
forman un sistema generador ya que cualquier vector en se puede poner como combinación lineal de [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
</center>
y un vector , el vector se puede escribir de la siguiente forma:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Los numeros reciben el nombre de coordenadas del vector en la base .
Así, el vector expresado en la base , siendo y , es:
de donde:
Las coordenadas del vector en la base son -2 y 6.
En cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base. En cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.