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Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Base)
(Base)
Línea 69: Línea 69:
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<br/>
-
==Base==
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son
 
-
linealmente independientes.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de
 
-
vectores y ese número se llama '''''dimensión''''' del espacio vectorial.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de
 
-
forma única como combinación lineal de los vectores de la base.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
Dada una base
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
B \, = \,
 
-
\left\{
 
-
\, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{u}}_n
 
-
\right\}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
y un vector &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}}
 
-
</math>
 
-
, éste se puede escribir de la siguiente forma:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot
 
-
\vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{u}}_n
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los numeros &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; reciben el nombre de '''''coordenadas''''' del vector &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en la base &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Ejemplo===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
El vector &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}} =
 
-
\left(
 
-
\, 10, \, 2 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; expresado en la base &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B \, = \,
 
-
\left\{
 
\, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \,
\, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \,
\right\}
\right\}

Revisión de 04:14 8 jun 2011

Tabla de contenidos


Sistema generador

Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.


Ejemplo


En   
R^2
, los vectores



\vec{\mathbf{v}}_1 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, \frac{1}{2}, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad
\vec{\mathbf{v}}_2 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, \frac{1}{3}
</pre>
<p>\right)


forman un sistema generador ya que cualquier vector   
\left(
</p>
<pre>  \, x, \, y \,
</pre>
<p>\right)
  en   
R^2
  se puede poner como combinación lineal de   
\vec{\mathbf{v}}_1 ~
  y   
\vec{\mathbf{v}}_2 ~
:



\left(
</p>
<pre> \, x, \, y \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2



  \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \, 

\right\} </math> , siendo   
\vec{\mathbf{u}}_1 =
\left(
</p>
<pre>  \, 1, \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{u}}_2 =
\left(
</p>
<pre>  \, 2, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, es:



\left(
</p>
<pre> \, 10, \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
= \alpha_1 \cdot
\left(
</p>
<pre>  \, 1, \, 2 \,
\right)
\, + \, \alpha_2 \cdot
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, 2, \, 1 \,
\right)
\, = \,
\left(
  \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \,
\right)
</pre>
<p>


de donde:



\left.
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 & = & 10
   \\
   2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 & = & 2
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}
\, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6


Las coordenadas del vector   
\vec{\mathbf{v}}
  en la base   
B
  son   -2 y 6.


En    R^2    cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En    R^3    cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.


   
 
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