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Sistemas de ecuaciones lineales

De Wikillerato

Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas   
\left(
</p>
<pre>  \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \,
</pre>
<p>\right)
  es un conjunto formado por   
m
  igualdades de la forma:



\left.
</p>
<pre> \begin{array}{c}
   a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
   \\
   a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
   \\
   \dotfill
   \\
   a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}


donde los   
a_{ij}
  se llaman coeficientes y los   
b_i
,   terminos independientes del sistema.

En los coeficientes   
a_{ij}
,   el subindice   
i
  indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice   
j
  señala de que incognita es coeficiente   
a_{ij}
.


El subindice   
i
  que aparece en el término   
b_i
,   indica la ecuación de la que   
b_i
  es término independiente.


El sistema anterior de   
m
  ecuaciones lineales con   
n
  incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
   \\
   a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{c}
   x_1
   \\
   x_2
   \\
   \vdots
   \\
   x_n
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{c}
   b_1
   \\
   b_2
   \\
   \vdots
   \\
   b_m
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La primera matriz en la igualdad anterior es la matriz de los coeficientes. La matriz ampliada es la matriz de los coeficientes, 
A
, a la que se añade la columna de los terminos independientes,   
B
  :


A|B \, = \,
\left(
</p>
<pre> \left.
 \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
   \\
   a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\begin{array}[c]{c}
</p>
<pre> b_1
 \\
 b_2
 \\
 \vdots
 \\
 b_m
</pre>
<p>\end{array}
\right)


Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Al conjunto de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.


Serán soluciones del sistema todas las n-tuplas   
\left(
</p>
<pre>  \, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \,
</pre>
<p>\right)
  tales que al sustituir   
x_i
  por   
s_i
,   para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
,   todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.

   
 
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