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Sistemas de ecuaciones lineales

De Wikillerato

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-
Un '''''sistema de ecuaciones lineales''''' con incógnitas  
+
#REDIRECT [[Matemáticas#Sistemas_de_ecuaciones_lineales]]
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es un conjunto formado por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m
+
-
</math>
+
-
&nbsp; igualdades de la forma:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left.
+
-
\begin{array}{c}
+
-
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
+
-
\\
+
-
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
+
-
\\
+
-
\dotfill
+
-
\\
+
-
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
+
-
\end{array}
+
-
\right\}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
donde los &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se llaman coeficientes y los &nbsp;
+
-
<math>
+
-
b_i
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; terminos independientes del sistema.
+
-
 
+
-
En los coeficientes &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij}
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; el subindice &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
j
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se&ntilde;ala de que incognita es coeficiente &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij}
+
-
</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El subindice &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que aparece en el término &nbsp;
+
-
<math>
+
-
b_i
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; indica la ecuación de la que &nbsp;
+
-
<math>
+
-
b_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es término independiente.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El sistema anterior de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ecuaciones lineales con &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\cdot
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
x_1
+
-
\\
+
-
x_2
+
-
\\
+
-
\vdots
+
-
\\
+
-
x_n
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\, = \,
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
b_1
+
-
\\
+
-
b_2
+
-
\\
+
-
\vdots
+
-
\\
+
-
b_m
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la '''''matriz de los coeficientes''''' y la llamaremos
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
, la segunda matriz es la matriz de las incognitas y la llamaremos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
X
+
-
</math>
+
-
. La tercera es la matriz de los terminos indedependientes y la llamaremos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B
+
-
</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la
+
-
siguiente manera:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
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A \cdot X \, = \, B
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La
+
-
'''''matriz ampliada''''' es la matriz de los coeficientes,
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
, a la que se añade la columna de los terminos independientes, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B
+
-
</math>
+
-
&nbsp;:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A|B \, = \,
+
-
\left(
+
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
b_1
+
-
\\
+
-
b_2
+
-
\\
+
-
\vdots
+
-
\\
+
-
b_m
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Al conjunto
+
-
de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las
+
-
soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Serán soluciones del sistema todas las n-tuplas &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tales que al sustituir &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_i
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; para &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.
+
-
 
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== Enlaces externos ==
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# ''[http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm Métodos de resolución algebraica de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas]'', Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
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-
 
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[[Categoría:Matemáticas]]
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Revisión actual

  1. REDIRECT Matemáticas#Sistemas_de_ecuaciones_lineales
Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Sistemas_de_ecuaciones_lineales.html"
   
 
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