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Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que podemos elegir   
A_n
  tan cercano como queramos a 
A
eligiendo 
n
lo suficientemente grande 
\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).


La recta   
s_n
  que pasa por los puntos 
A
y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función 
\mathrm{f}
. Así, para cada punto   
n \in \mathbb{N}
,   existe una secante que pasa por   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando 
n
tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función 
\mathrm{f}
en el punto   
A
. Denotamos esta tangente por 
t
.


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de la tangente 
t
cuando 
n
tiende a 
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.   Es decir, la pendiente de 
t
es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


   
 
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